11. Основные непрерывные распределения.

Равномерное распределение.

Определение 1.   СВ X распределена равномерно на отрезке [a,b], (X ~ R(а,b)), если (см. рис.1)

f(x)=

{

1 b - a  0

, ,

x [a,b], x [a,b].

Рисунок 1       Рисунок 2.

Замечание 1.   Нетрудно убедиться в том, что функция распределения имеем вид (см. рис.2)

F(x)

Δ =

x   ∫  -∞

f(x) dx =

{

0 x-a b-a   1

, x < a,   , a ≤ x ≤ b,   , x > b.

Замечание 2.   Характеристическая функция СВ X ~ R(а,b):

g(t)

Δ =

M[eitx]=

+∞   ∫  -∞

eitxf(x) dx =

1  b-a

b   ∫  a

eitx dx =

eitb-eita  it(b-a)

.

Замечание 3.   МО и дисперсия по определению равны

mx

Δ =

ν1 =

+∞   ∫  -∞

xf(x) dx =

b   ∫  a

x  b-a

dx =

b2-a2 2(b-a)

=

a+b   2

,

ν2

Δ =

+∞   ∫  -∞

x2f(x) dx =

1  b-a

b   ∫  a

x2 dx =

b3-a3 3(b-a)

=

b2+ba+a2       3

,

dx

Δ =

μ2

6)mx   =

ν2 - mx2 =

b2+ba+a2       3

-

a2+2ba+b2       4

=

(b-a)2   12

.

Замечание 4.   Линейное преобразование

Y

Δ =

X-a b-a

переводит СВ X ~ R(a,b) в СВ Y ~ R(0,1). Действительно,

FY(x)

Δ =

P{Y ≤ y} = P{X ≤ (b - a)y + a}

Зам.1   =

{

0,   y,   1,

y < 0,   0 ≤ y ≤ 1,   y > 1.

Замечание 5.   Равномерное распределение является непрерывным аналогом дискретного распределения вероятностей для опытов с равновероятными исходами.

Замечание 6.   Погрешность приближенных вычислений каких-либо параметров при округлении до ближайших целых чисел удовлетворительно описывается распределением R(-1/2, 1/2).

Замечание 7.   Если СВ Y имеет непрерывную строго возрастающую функцию распределения F_Y(y), то можно показать, что СВ

X

Δ =

FY(Y)

имеет распределение R(0,1). Действительно, в этом случае функция x = F_Y(y) будет иметь взаимно обратную функцию y = F_Y^-1(x). Поэтому для всех x [0,1] получаем

Fx(x)

Δ =

P{FY(Y) ≤ x} = P{Y ≤ FY-1(x)} = FY(FY-1(x)) = x.

Кроме того F_x(x) = 0, если x < 0, и F_x(x) = 1, если x > 1. Таким образом, СВ

Y

Δ =

FY-1(X)

будет иметь требуемую функцию распределения F_Y(y), если X ~ R(0,1). Данный результат, верный и в более общем случае, когда функция распределения лишь непрерывна, используется для моделирования СВ с произвольно заданным законом распределения.

Нормальное распределение.

Определение 1.   СВ X имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами m и σ > 0 (X ~ N(m,s)), если (см. рис.5)

f(x) =

1 √2πσ

exp

{

-

(x-m)2   2σ2

}

.

При этом СВ называется нормальной (гауссовской).

Рисунок 5.

Замечание 1.   Графики плотности нормального распределения, называемые кривыми Гаусса, имеют единственный максимум в точке x = m. Найдём функцию распределения СВ X ~ N(m,σ):

F(x)

Δ =

x   ∫  -∞

f(x) dx =

1 σ√2π

x   ∫  -∞

exp

{

-

(x-m)2   2σ2

}

dx =

=

|

y

Δ =

x-m   σ

,

dy =

1 σ

dx

|

=

=

1 √2π

(x-m)/ σ     ∫    -∞

e-y

2

/2 dy = Φ

[

x-m   σ

]

.

Здесь введено обозначение

Φ(y)

Δ =

1 √2π

y   ∫  -∞

e-y

2

/2 dy

для функции распределения стандартной нормальной СВ X ~ N(0,1), называемой также функцией Лапласа(см. рис. 6). Вместо Φ(y) в справочниках встречается также интеграл вероятностей:

Φ0(y)

Δ =

1 √2π

y   ∫   0

e-x

2

/2 dx ,

при   y > 0.

Легко убедится в том, что Φ₀(-y) = -Φ₀(y).

Рисунок 6.

Замечание 2.   Характеристическая функция СВ X ~ N(0,1) имеет вид

g(t)= e-t

2

/2.

Действительно,

g(t) =

1 √2π

+∞   ∫  -∞

e-x

2

/2eitx dx =

|

формула Эйлера

|

=

=

1 √2π

+∞   ∫  -∞

e-x

2

/2cos tx dx +

i √2π

+∞   ∫  -∞

e-x

2

/2sin tx dx =

=

|

sin tx - нечетная ,

e-x

2

/2 - четная , пределы симметр.

|

=

=

1 √2π

+∞   ∫  -∞

e-x

2

/2cos tx dx ;

g'(t) = -

1 √2π

+∞   ∫  -∞

xe-x

2

/2sin tx dx =

|

интегрирование по частям

|

=

=

1 √2π

[

e-x

2

/2sin tx

|

+∞ -∞

-

+∞   ∫  -∞

e-x

2

/2cos tx dx

]

= -t g(t),

Решая это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными при начальном условии g(0) = 1, находим ln g(t) = -t²/2. Рассмотрим СВ X ~ N(m,σ). Тогда нормированная СВ

* X

Δ =

X-m   σ

имеет нормальное распределение N(0,1) и, следовательно, характеристическую функцию

g(t)= e-t

2

/2.

Далее, согласно свойству 4)g(t) для СВ

X

Δ = σ

* X

+ m

имеем

gx(t) = eitmg

* X

(σt) = exp(itm - t2 σ 2 / 2) .

Замечание 3.   МО и дисперсия СВ X ~ N(m,σ) равны

ν1 =

1   i

d dt

g(t)

|

t =0

=

(im-tσ2)     i

= exp(imt - t2σ2/2)

|

t =0

= m,

ν2 =

1  i2

d2 dt2

g(t)

|

t =0

=

1  i2

[

- σ2exp(imt - t2σ2/2) +

+ (im - tσ2)2exp(imt - t2σ2/2)

]

t =0

= -

σ2+m2     i2

= σ2+m2 ,

dx

6)mx   =

ν2 - ν12 = σ2.

Замечание 4.   С помощью линейного преобразования

* X

Δ =

X-m   σ

нормальное распределение N(m,σ) переходит в стандартное нормальное N(0,1), для которого функция распределения совпадает с функцией Лапласа, т.е.

F

* X

(x) = Φ(x).

Замечание 5.   Нормально распределенная СВ с большой вероятностью принимает значения, близкие к своему МО, что называют "правилом k сигм":

P{|X - m| ≤ kσ}

З1 =

Φ(k) - Φ(-k) =

{

0.6827 , k = 1, 0.9545 , k = 2, 0.9973 , k = 3.

Замечание 6.   Нормальное распределение имеет очень широкое распространение в прикладных задачах. Это связано с тем, что в реальной жизни многие исследуемые СВ являются следствием разлияных случайных событий. В частности, при достаточно общих предположениях сумма большого числа независимых СВ имеет распределение близкое к нормальному (точные формулировки см. ниже, Теорема Л11.Р1.Т2).

Пример 1.   Рост людей на нашей планете хорошо описывается нормальным распределением. Это, по-видимому, связано с тем, что на рост влияют разнообразные независимые случайные факторы: климат, экология окружающей среды, экономические условия, болезни и т.д. Хотя, конечно, "бесконечно" большие люди (великаны) и "бесконечно" маленькие люди (гномы) бывают только в сказках. Это говорит о том, что "хвосты" истинного распределения роста людей отличаются от нормального распределения.

Логарифмически нормальное распределение.

Определение 1.   СВ

Y

Δ =

ex,

где X ~ N(m,σ), имеет логарифмически нормальное (логнормальное) распределение с параметрами m и σ > 0. 

Замечание 1.   Так как e^x - строго возрастающая функция, то, учитывая вид нормального распределения (определение Л6.Р1.О1), найдём плотность логнормального распределения

fY(y)

4)f(x)   =

fx(ψ(y))ψ'(y) =

|

ψ(y) = ln y ψ'(y) = 1/y

|

=

=

{

1 yσ√2π exp { - (ln y - m)2      2σ2 } 0,

, y > 0,  y ≤ 0.

График f_Y(y) (см. рис.8) асимметричен с максимумом в точке y = exp(m - σ²).

Рисунок 8.

Замечание 2.   Найдём МО и дисперсию СВ Y. По определению:

M[Y] =

1 σ√2π

+∞   ∫  0

exp{-(ln y - m)2/2σ2} dy =

|

замена перем. y = exp{σ(t + σ) + m}

|

=

=

exp{m + σ2/2}       √2π

+∞   ∫  -∞

e-t

2

/2 dt = exp{m + σ2/2}.

Аналогично можно найти M[Y²]= exp{2(σ² + m)}. Поэтому

D[Y] = M[Y²] - (M[Y])² = exp(σ² + 2m)*(exp{σ²} - 1).

Замечание 3.   Логнормальное распределение широко используется в экономической статистике, статистической физике и др.

Экспоненциальное распределение.

Определение 1.   СВ X имеет экспоненциальное (показательное) распределение с параметром λ > 0 (X ~ E(λ)), если (см. рис.3)

f(x)=

{

λe-λx   0

, ,

если x ≥ 0, если x < 0.

Рисунок 3       Рисунок 4.

Замечание 1.   Функция распределения СВ X ~ E(λ) равна (см. рис.4): F(x) = 0, если x < 0, и

F(x)

Δ =

x   ∫  -∞

f(x) dx = | f(x) = 0 ,если x < 0 | = λ

x   ∫  0

e-λx dx = 1 - e-λx,   x ≥ 0.

Замечание 2.   Характеристическая функция СВ X ~ Е(λ):

g(t)

Δ =

+∞   ∫  -∞

eitxf(x) dx = λ

+∞   ∫   0

e-λxeitx dx = λ

+∞   ∫   0

ex(it-λ) dx =

=

λ it-λ

ex(it-λ)

|

+∞ x=0

=

λ λ-it

.

Замечание 3.   Найдём МО и дисперсию СВ X ~ E(λ):

mx

Δ =

ν1 =

1   i

d dt

g(t)

|

t =0

=

λ  (λ-it)2

|

t =0

=

1  λ

,

ν2 =

1  i2

d2 dt2

g(t)

|

t =0

=

2λ  (λ-it)3

|

t =0

=

2   λ2

,

dx

6)mx   =

ν2 - ν12 =

1   λ2

.

Замечание 4.   Экспоненциальное распределение является одним из основных распределений, используемых в теории надежности. Например, продолжительность безотказной работы многих технических устройств, а также время задержки вылета самолёта по вине технических служб аэропорта удовлетворительно описываются соответствующими экспоненциальными распределениями.