12.Теорема Бернулли.

Определение 1.   Числом сочетаний C_n^m из n элементов по m (m ≤ n) называется количество всех возможных способов, которыми можно выбрать m различных элементов из n, вычисляемое по формуле:

Cnm

Δ =

n! m!(n-m)!

.

Теорема 1.   Пусть опыт G производится независимо n раз в одних и тех же условиях, причем некоторое событие A при каждом повторении опыте появляется с одной и той же вероятностью p = P(A). Тогда вероятность P_n(m) события B_n(m), состоящего в том, что при n повторениях опыта G событие A произойдет ровно m раз, вычисляется по формуле Бернулли:

Pn(m)

Δ =

P(Bn(m)) = Cnm pm(1-p)n-m .

Замечание 1.   Проверим справедливость этой формулы для n = 3 и m = 1. В этом случае

P3(1)

Δ =

P(B3(1)) = C31 p1(1-p)2 = 3p(1 - p) 2.

Представим событие B₃(1) в виде суммы трёх несовместных событий:

B3(1) = A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3,

где события A_i и A_i состоят в том, что событие A произойдёт или не произойдёт в i-м опыте, i = 1,2,3. Поэтому по замечанию Л3.Р2.З2:

P3(1)

Δ =

P(B3(1)) = P(A1A2A3) + P(A1A2A3) + P(A1A2A3).

Так как события A₁, A₂, A₃, а так же A₁, A_2, A₃ независимы, то

P3(1) = P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3).

Поэтому P₃(1) = 3p(1 - p)². В общем случае формуле Бернулли доказывается аналогично.

Пример 1.   Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что "герб" выпадет ровно три раза. В этом случае

n = 5, m = 3, p = 1/2, q

Δ =

1 - p = 1/2.

Тогда по формуле Бернулли

P₅(3) = C₅³ (1/2)³(1/2)² = 5/16.

12.Центральная предельная теорема.

Примером центральной предельной теоремы (для последовательности независимых случайных величин) является интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Теорема 1. Пусть производится n независимых опытов в каждом из которых вероятность наступления события А равна p (не наступление q=1 p¹0 p¹1). Если К- число появления событий А в серии из n испытаний, то при достаточно больших n СВК можно считать нормально распределённой ()

.

где - функция Лапласа.

В более общем случае верна следующая теорема.

Теорема 2. Если случайные величины Х₁, Х₂, ..., Х_n независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию, то при n→¥:

где M(X_i)=a, s²=D(X_i).

U - нормально распределенная случайная величина, М(U)=0, D(U)=1.

12.Локальная предельная теорема Муавра-Лапласса.

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0<p<1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n). Pn(k)=1/(корень из npq)*фи(х). Здесь Фи(х)=1/(корень из 2пи)*е в степени –х*2/2, x=k – np/(корень из npq). Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0<p<1), событие наступит не меньше k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна: P(k1;k2)=Ф(х’’) – Ф(х’). Здесь Ф(х)=1/(корень из 2пи) * интеграл от0 до х е в степени –(z*2/2)dz – функция Лапласа, х’=(k1 – np)/(корень из npq), х’’=(k2 – np)/(корень из npq).