14. Условные распределения двумерной случайной величины.

Плотность двумерной нормально распределенной СВ Z при

__________ √c11c22 - c122 > 0

определяется формулой

f(x,y) =

__________ √c11c22 - c122           2π

exp{-

1 2

[c11(x - a)2 + 2c12(x - a)(y - b) + c22(y - b)2]}.

Функция распределения и ее свойства.

Значение функции распределения F(x₁,y₁) равно вероятности попадания двумерной СВ (X,Y) в бесконечный квадрант D₁₁ с вершиной в точке (x₁, y₁)

1)   F(x,y) определена для всех (x,y) О R², так как вероятность P{X ≤ x, Y ≤ y} определена для всех x,y О R¹.

2)   0 ≤ F(x,y) ≤ 1 для всех x,y О R¹. По аксиоме A1 и свойству 5)P для любого события выполняется 0 ≤ P(A) ≤ 1 , поэтому по определению F(x,y) О [0,1].

3)   F(-∞,y) = F(x,-∞) = F(-∞,-∞) = 0 для всех x,y О R¹. Например, рассматривая

Bn

Δ =

{ω : Y(ω) ≤ -n}, где n = 1, 2, ... ,

можно по аналогии с доказательством свойства 3)F(x) установить, что

F(-∞,y) ≤

l i m n→∞

P(Bn) = P( Ж ) = 0.

4)   F_Y(y) = F(+∞,y), F_X(x) = F(x,+∞) для всех x,y О R¹, где F_X(y) и F_Y(x) - функции распределения СВ X и Y соответственно. Это свойство можно установить, следуя доказательству свойства 3)F(x), т.к. {ω : X(ω) ≤ +∞} = {ω : Y(ω) ≤ +∞} = Ω.

5)   F(+∞,+∞) = 1.  В силу свойства 4)F(x,y) имеем

F(+∞,+∞) = FX(+∞)

3)F(x)   =

1.

6)   F(x,y) - монотонно неубывающая по каждому из аргументов. Т.к. для Δx > 0 имеем

F(x+Δx,y)

Δ =

P{X ≤ x+Δx, Y ≤ y}

A3  =

= P{X ≤ x,Y ≤ y} + P{x < X ≤ x + Δx, Y ≤ y},

так как рассматриваемые события несовместны. По аксиоме A1 имеем F(x + Δx,y) ≥ F(x,y). Монотонность F(x,y) по y доказывается аналогично.

7)   Если F(x,y) непрерывна по x и y, то вероятность попадания СВ Z в прямоугольник D = {x₁ ≤ x ≤ x₂, y₁ ≤ y ≤ y₂} равна

P(D)

Δ =

F(x2,y2) + F(x1,y1) - F(x1,y2) - F(x2,y1),

где F(x_i,y_j), (i,j = 1,2) - вероятности попадания СВ Z в квадранты D_ij с соответствующими вершинами (x_i,y_j), i,j = 1,2

Условная плотность распределения и ее свойства.

Условной плотностью распределения (вероятности) непрерывной СВ X при условии, что непрерывная СВ Y с плотностью f_Y(y) ≠ 0 приняла значение y, называется функция

f( x | y) =

f(x, y)  fY(y)

,   x О R1 .

1)   f_x(x|y) ≥ 0, так как плотности f(x,y) ≥ 0, f_Y(y) ≥ 0.

2)

Fx(x|y)

Δ =

x   ∫ -∞

fX(x|y) dx,

если плотности f(x,y), f_Y(y) непрерывны. В этом можно убедиться, сравнивая выражения для условной плотности и условного распределения (см. замечание Л8.Р1.З3).

3)

+∞   ∫ -∞

fx(x|y) dx = 1   по свойствам 2)f(x|y), 4)F(x|y).

4)

fX(x | y) =

∂FX(x|y)      ∂x

,

если плотности f(x,y), f_Y(y) непрерывны. Действительно, по замечанию Л8.Р1.З3 имеем

fx( x | y)

Δ =

∂Fx( x | y)     ∂x

=

1  fY(y)

∂ ∂x

x   ∫ -∞

f(x,y) dx =

f(x,y)  fY(y)

.

5)   Если непрерывные СВ X и Y независимы, то f_X(x|y) = f_X(x). Согласно свойству 8)f(x,y) для независимых СВ X и Y имеем равенство f(x,y) = f_X(x)f_Y(y), из которого следует по определению условной плотности, что f_X(x|y) = f_X(x).

6)  

P{x1 ≤ X ≤ x2} =

∞  ∫ -∞

fY(y) (

x2 ∫ x1

fX(x|y) dx ) dy.

Действительно, по свойствам 3)f(x), 6)f(x,y) и определению условной плотности имеем

P{x1 ≤ X ≤ x2} =

x2 ∫ x1

fX(x) dx =

x2 ∫ x1

(

∞  ∫ -∞

f(x,y) dy ) dx =

=

x2 ∫ x1

(

∞  ∫ -∞

fY(y)fX(x|y) dy ) dx =

∞  ∫ -∞

fY(y) (

x2 ∫ x1

fX(x|y) dx ) dy.

Условные числовые характеристики

Условным математическим ожиданием является выражение:

;

Условной дисперсией называется выражение:

;

.

Корреляционные зависимости

Ковариацией (корреляционным моментом) k_XY непрерывных СВ X и Y называется второй центральный смешанный момент

kXY

Δ =

M[(X - mX)(Y - mY)] =

+∞   ∫ -∞

+∞   ∫ -∞

(x - mX)(y - mY)f(x,y) dx dy .

Ковариация нормированных СВ

* X и

* Y

называется коэффициентом корреляции, т.е.

rXY

Δ =

k

* * XY

Δ =

M[

* * XY

]

2)mx   =

M[(X - mX)(Y - mY)]             σXσY

Δ =

kXY σXσY

.

Определение 3.   СВ X и Y называют коррелированными, если r_XY ≠ 0 (k_XY ≠ 0) и некоррелированными, если r_XY = 0 (k_XY = 0).

Определение 4.   Корреляция между СВ X и Y называется положительной, если r_XY > 0 и отрицательной, если r_XY < 0.

Нормальный закон распределения случайной двумерной величины.