12. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.

Для непрерывной случайной величины Х вместо вероятности равенства Х=х используют вероятность Р(Х<х). F(x)=P(X<X) F-функция распределения случайной величины х F(x) -интегральный закон распределения или интегральная функция распределения. F(x) -самая универсальная характеристика случайной величины, она существует для всех случайных величин как дискретных так и непрерывных. Основные свойства функции распределения. 1.Функция распределения F(x) есть не убывающая функция своего аргумента, т.е. при x2>x1 F(x2)>=F(x1) 2.При функция распределения F(x)=0; F()=0 3.При F(x)=1; F()=1

Функцией распределения случайной величины называется функция F(x), выраженная для каждого значения x, вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше x.

F(x) = P(X<x)

F(x) – интегральная функция распределения. Геометрически функция F(x) интерпретируется, как вероятность того, что случайная точка Х попадет на оси абсцисс левее некоторого значения х.

При подходе слева к точкам разрыва функция сохраняет свое значение, т.е. непрерывна слева.

Свойства функции распределения:

1. Функция распределения случайной величины не отрицательна и заключена на отрезке от [0;1]

2. Функция распределения неубывающая на всей числовой оси.

3. На (-∞) значение функции равно 0, а на (+∞) – 1

F(-∞) = lim F(x) = 0

^x→-∞

F(+∞) = lim F(x) = 1

^x→+∞

4. Вероятность попадания случайной величины на интервал [x₁; x₂] равна приращению функции распределения на этом инте6рвале: p(x₁≤ x ≤x₂) = F(x₂) – F(x₁)

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой ее точке и дифференцируется всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна 0.

Если х непрерывная СВ вероятность попадания в интервал от х1 до х2, не зависит от того, какой интервал открытый или закрытый: Р(х1≤х≤х2) = Р(х1<х<х2)=Р(х1<х≤х2)

13. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.

Плотностью вероятности непрерывной случайной величины называется производная ее функции распределения:

φ(х) = F’(x)

Существует только для непрерывной случайной величины и называется дифференциальной функцией распределения.

Свойства плотности вероятности:

1. Плотность вероятности неотрицательная функция _b

2. Вероятность поадания непрерывной случайной величины на интервал [a;b] равен: P(a≤x≤b)= ∫φ(x)dx

^a

Геометрически.

Площадь фигуры под кривой распределения, опирающ. на ab – это плотность вероятности.

3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле: _x

F(x) = ∫φ(x)dx

^-∞

Геометрически функция распределения – это площадь фигуры, ограниченная серху кривой распределения и лежащая левее точки х:

4) Несобственный интеграл бесконечных пределов от плотности вероятности непрерывной случайной величины равны 1. ∫φ(x)dx = 1

Геометрический свойства1-4 означают, что график плотности вероятности лежит не ниже оси абсцисс и полная площадь фигуры, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс равна 1.