20.Плотность и функция распределения составляющих двумерной случайной величины, их математические ожидании и дисперсии.

21. Условные законы распределения составляющих двухмерных случайных величин. Условные математические ожидания.

Условным законом распределения одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины (X,Y) называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая приняла определенное значение (или попала в какой-то интервал).

Для дискретных случайных величин:

,

Для непрерывных случайных величин:

Условная плотность вероятности одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины равна отношению ее совместной плотности к плотности вероятности другой составляющей.

Геометрически совместная плотность вероятности (x, y) представляет поверхность распределения, а условная плотность- есть кривая распределения, подобная сечению этой поверхности плоскостьюY=y, параллельная плоскости Oxz и отсекающей на оси y отрезок y, получается из нее путем деления всех ординат на площадь данного сечения s (т.е. сечение поверхности распределения есть кривая , где

Условные вероятности обладают всеми свойствами «безусловной плотности».

При изучении двумерных случайных величин рассматриваются числовые характеристики одномерных составляющих X и Y – математическое ожидание и дисперсия.

Для непрерывной случайной величины они определяются по формулам:

Числовые характеристики условных распределений.

условные математические ожидания и условные дисперсии. Эти характеристики находятся по обычным формулам математического ожидания и дисперсии, в которых вместо вероятностей событий или плотностей вероятностей используют условные вероятности или условные плотности вероятностей.

Для непрерывной случайной величины (X,Y)

Условное математическое ожидание случайной величины Y при X=x, т.е. есть функция отx, называемая функцией регрессии или просто регрессией Y по X; аналогично называется регрессиейX по Y. Графики этих функций называют соответственно линиями регрессии Y по X и X по Y.

Основные свойства условных мат. ожиданий и дисперсий аналогичны свойствам их «безусловных» аналогов, при этом надо учитывать, что проводимые в них операции понимаются теперь уже не как действия над числами, а как действия над функциями.

22. Ковариация и коэффициент корреляции для непрерывных случайных величин.

Ковариацией случайных величин Х иY называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий, т.е.

, или

, где ,

Из определение следует, что=

Кроме того, т.е. ковариация случайной величины с самой собой есть ее дисперсия.

Для непрерывных случайных величин:

Ковариация двух случайных величин характеризует степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки (а_х,а_у).

Свойства ковариации:

4. Ковариация двух независимых случайных величин равна нулю.

5. Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведение математических ожиданий, т.е.

6. Двухмерная случайная величина по абсолютной случайной величине не превосходит их среднеквадратических отклонений.

Замечание: Ковариация является величиной размерной. Ее размерность определяется произведением размерностей случайных величин. Это затрудняет использование ковариации для оценки степени зависимости различных случайных величин, потому используется коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции – отношение ковариации двухмерной случайной величины к произведению среднеквадратических отклонений (величина безразмерная)

Свойства корреляции:

1)

2) Если СВ независима, то

СВ называют некоррелированными, если их коэффициент корреляции равен нулю.

СВ – независимые, след., некоррелированные, но не наоборот.

Если , то между СВ существует линейная функциональная зависимость.