- •6.4. Центральная предельная теорема (цпт).
- •Математическая статистика.
- •§7 Выборки и их характеристики.
- •7.2. Генеральная и выборочная совокупности.
- •7.4 Графическое изображение стат. Распределения.
- •7.5. Числовые характеристики статистического распределения.
- •Классификация событий.
- •10. М атематическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания. Дисперсия дискретной случайной величины.
- •11. Основные законы распределения вероятностей дискретной случайной величины: Бернулли, биномиальное, геометрическое, распределение Пуассона, (гипергеометрическое).
- •12. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.
- •13. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.
- •14. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
- •15. Числовые характеристики случайной величины: центральные и начальные моменты, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, ассиметрия, эксцесс, квантиль, процентная точка.
- •16. Основные законы распределения непрерывной случайной величины: нормальный, логнормальный, равномерный, показательный.
- •17. Закон распределения вероятностей, используемые в математической статистике: хи-квадрат, Стьюдента, Фишера.
- •19. Плотность и функция распределения непрерывной двумерной случайной величины и их свойства.
- •20.Плотность и функция распределения составляющих двумерной случайной величины, их математические ожидании и дисперсии.
- •21. Условные законы распределения составляющих двухмерных случайных величин. Условные математические ожидания.
- •22. Ковариация и коэффициент корреляции для непрерывных случайных величин.
- •23. Двумерный нормальный закон распределения.
- •24. Функции от случайной величины. Плотность распределения монотонной функции от случайной величины.
11. Основные законы распределения вероятностей дискретной случайной величины: Бернулли, биномиальное, геометрическое, распределение Пуассона, (гипергеометрическое).
Распределение Бернулли.
Случайная величина имеет распределение Бернулли с параметром р (0<p<1), если P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p. Случайную величину Х полезно интерпритировать как число наступлений события А в одном испытании, в кот. оно наступает с вероятность р, и не наступает с вероятностью q = 1-p.
Числовые характеристики:
МХ = р
DX= pq
Биномиальный закон распределения.
Дискретная случайная величина имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0,1,2, …,m,…n с вероятностями P(X=m) = Сmnpmqn-m
Вероятности находятся по формуле Бернулли.
Мат. ожидание случ. величины, распределенное по биномиальному закону:
М(Х)=np q=1-p; 0<p<1
D(X)=npq
Мат. Ожидание частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с одной и той же вероятностью p, вычисляется:
М(m/n) = p
D(m/n) = pq/n
Биномиальный закон используют в статистическом контроле качества продукции, в теории стрельбы, при описании функционирования систем массового обслуживания и т.д.
Закон распределения Пуассона.
Дискретная случайная величина x имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0,1,…n, бесконечное, но счетное множество значений с вероятностями P(x=m) = λme-λ/m!
|
xi |
0 |
1 |
2 |
…. |
m |
|
pi |
e-λ |
λ e-λ |
λe-λ /2! |
…. |
λme-λ /m!
|
M(X) = λ
D(X) = λ
При р→0, n→∞ закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона.
Геометрическое распределение.
Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1,2, … n, бесконечное, но счетное множество значений, с вероятностями: P(x=m) = pqm-1
Вероятности образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q.
Случайная величина, имеющая геометрическое распределение представляет собой число m испытаний, проведенных по схеме Бернулли с вероятностью p наступления события в каждом испытании до 1-го положительного исхода.
Числовые характеристики:
Мат. ожидание случайной величины, имеющей геометрическое распределение: М(Х)=1/р
D(X) = q/p2
Гипергеометрическое распределение.
Дискретная случайная величина имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения
0,1,2,3,…min (n;M), где n,M,N – натуральные числа с вероятностями: P(x =m) = CmM Cn-mN-M / CnN
Гипергеометрическое распределение возникает в случаях, подобных этому: В урне N шаров, из которых M – белых, остальные черные. Из урны извлекаются n шаров. Требуется найти вероятность того, что среди извлеченных шаров m белые, а остальные черные.
Гипергеометрическое распределение определяется 3-мя параметрами n,M,N, если n(n<1/10N), то гипергеометрическое распределение приближается к биномиальному распределению.
Чаще всего используется для задач на качество продукции.