- •6.4. Центральная предельная теорема (цпт).
- •Математическая статистика.
- •§7 Выборки и их характеристики.
- •7.2. Генеральная и выборочная совокупности.
- •7.4 Графическое изображение стат. Распределения.
- •7.5. Числовые характеристики статистического распределения.
- •Классификация событий.
- •10. М атематическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания. Дисперсия дискретной случайной величины.
- •11. Основные законы распределения вероятностей дискретной случайной величины: Бернулли, биномиальное, геометрическое, распределение Пуассона, (гипергеометрическое).
- •12. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.
- •13. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.
- •14. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
- •15. Числовые характеристики случайной величины: центральные и начальные моменты, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, ассиметрия, эксцесс, квантиль, процентная точка.
- •16. Основные законы распределения непрерывной случайной величины: нормальный, логнормальный, равномерный, показательный.
- •17. Закон распределения вероятностей, используемые в математической статистике: хи-квадрат, Стьюдента, Фишера.
- •19. Плотность и функция распределения непрерывной двумерной случайной величины и их свойства.
- •20.Плотность и функция распределения составляющих двумерной случайной величины, их математические ожидании и дисперсии.
- •21. Условные законы распределения составляющих двухмерных случайных величин. Условные математические ожидания.
- •22. Ковариация и коэффициент корреляции для непрерывных случайных величин.
- •23. Двумерный нормальный закон распределения.
- •24. Функции от случайной величины. Плотность распределения монотонной функции от случайной величины.
10. М атематическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания. Дисперсия дискретной случайной величины.
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина.
Определение.
Среднее значение (Мат. ожидание) дискретной случайной величины (М(Х), МХ, а) – это сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности. n
МХ = Σxipi
Механическая интерпретация мат. ожидания.
Если предположить, что каждая материальная точка с абсциссой xi имеет массу pi , а вся ед. масса распределена между точками xi (Σpi = 1), то мат. ожидание – это абсцисса центра масс системы данных материальных точек.
Если дискретная случайная величина принимает бесконечное, но счетное множество значений, то ее мат. ожидание – это сумма ряда: ∞
МХ = Σxipi
i =1
На практике, множество возможных значений случайной величины распространяется лишь на ограниченный участок оси абсциссы, поэтому мат. ожидание существует.
Свойства Мат. Ожидания.
М(С) = С, С = const
Постоянный множитель нужно выносить за знак мат. ожидания: М(kX) = kM(X)
мат. ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равна такой же сумме их мат. ожиданий: М (Х +/- У) = М(Х) +/- М(У)
Мат. ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равна произведению их мА. ожиданий: М(ХУ) = М(Х)М(У)
Если все значения случайной величины увеличить или уменьшить на постоянную, то на эту постоянную изменится и мат. ожидание: М(Х+/- С) = М(Х) +/- С С=const
Мат. ожидание отклонения случайной величины от ее мат. ожидания равно 0: М(Х – М(Х)) = 0
Дисперсия дискретной случайной величины.
Дисперсия случайной величины (D(x) и DX) – это мат. ожидание квадрата ее отклонения от мат. ожидания.
D(x) = M (x – M(x))2
Размерность дисперсии – это квадрат размерности случайной величины, что не всегда удобно, след. среднее квадратич. отклонение: √DX = σx имеет размерн. случ. вел-ны.
Если случайная величина дискретная с конечным числом значений, то дисперсия считается:
D(X) = Σ(xi – a)2pi a=MX
Если случайная величина с бесконечным, но счетным множеством значений, то:
D(X) = Σ(xi – a)2pi a=MX
при условии, что ряд в правой части сходится.
Свойства дисперсии:
Дисперсия постоянной равна 0: D(C) = 0; C = const
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(kx) = k2D(x)
Дисперсия случайной величины равна разности между мат. ожиданием квадрата случайной величины и квадрата мат. ожидания: D(X) = M(X2) – M(X)2
Замечание:
Интерпретация мат. ожидания в финансовом анализе.
Пусть известно распределение доходности некоторого актива, например, акций, т.е. известны значения доходности xi и соответствующие им вероятности pi, тогда мат. ожидание выражает среднюю прогнозируемую доходность активов, а дисперсия или сред. квадратич. отклонение – меру отклонения доходности от среднего ожидаемого значения, т.е. риск данного актива.