14. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

Для получения формул нужно заменить знак суммирования по всем значениям на интеграл в бесконечных пределах, а дискретный элемент x_i непрерывно меняющимся аргументом х. вероятность pi заменяется элементом вероятности φ(х)dx , под которым понимается вероятность попадания случайной величины на отрезок [x; x+dx]:

n _∞

Σ → ∫

^∞

x_i → х

pi → φ(х)dx

Геометрически элемент вероятности приблизительно равен площади прямоугольника, построенного на отрезке

[x; x+dx]

Для непрерывной случайной величины:

_+∞

a = MX = ∫x φ(х)dx

_+∞^-∞

DX = ∫(x-a) φ(х)dx

^-∞

Все свойства мат. ожидания, дисперсии для дискретных СВ справедливы и для непрерывных СВ.

15. Числовые характеристики случайной величины: центральные и начальные моменты, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, ассиметрия, эксцесс, квантиль, процентная точка.

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, т.е. то для которого плотность вероятности достигает максимума. Мо(х) Если св непрерывна, то значения х, в которых плотность достигает своего максимального значения, называют модами.

Для дискретной СВ модами являются те значения, для которых Р(Х=х_i) = maxp_i

Если вероятность достигает max не в одной, а в нескольких точках, то распределение называется полимодальным.

Медианой непрерывной случайной величины называется такое значение, для которого вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее медианы или большее ее, одна и та же и равна ½:

P(X<Me(x)) = P(X>Me(x)) = ½

Геометрически вертикальная прямая, проходящая через точку с абсциссой равной медиане делит площадь фигуры по кривой распределения на две равные части.

Квантилем уровня q называется такое значение СВ Х, при кот. функция ее распределения принимает значение равное q:

F(x_q) = P(x< x_q) = q

Квантиль q=1/2 – медиана

Квантиль q=1/4 – нижний

Квантиль q=3/4 – верхний

Квантили часто называют также процентными точками распределения.

Среди числовых характеристик случайной величины особое место занимают начальный и центральный моменты.

Начальный момент k-го порядка степенями этой величины – это мат. ожидание k-ой степени этой величины.

ν_k = M(X^k)

Центральный момент момент k-го порядка – это мат. ожидание k-ой степени отклонение случайной величины от ее мат. ожидания.

μ_k = M(X-M(X))^k

СВ
Момент	ДСВ	НСВ
начальный	νk = M(Xk)= Σ хi k pi	+∞ νk = ∫x k φ(х)dx -∞
центральный	μk = M(X-M(X))k	+∞ μk= ∫(x – a) k φ(х)dx -∞ a=M(X)

При k=1, первый начальный момент – это ее мат. ожидание: k=1 ν₁= M(X) = а

при k=2 – это дисперсия.

Центральные моменты могут быть выражены через начальные:

μ₁ = ₀

μ₂ = ν₂- ν₁²

μ₃= ν₃- 3ν₁ ν₂ + 2μ₁²

Для более подробного описания служат моменты более высших порядков.

Третий центральный момент служит для характеристики ассиметрии распределения и имеет размерность куба случайной величины. Для получения безразмерной величины вводят коэффициент ассиметрии: А=μ_3/ σ³

1 А>0; 2 A<0

Кривая 1 имеет положительную ассиметрию, правостороннюю

Кривая 2 имеет отрицательную ассиметрию, левостороннюю

Четвертый центральный момент характеризует островершинность распределения или так называемую крутость.

Эксцесс Е = μ_4/ σ⁴

Кривые более островершинные, чем кривая нормального распределения имеют положительный эксцесс.

Величинаσ=√DX называется среднеквадратическим отклонением величины Х.