Тема 3. Формула полной вероятности и формула Байеса

Иногда о ситуации, в которой проводится опыт можно высказать некоторые предположения, при которых опыт протекает уже более просто. Такого рода предположения называются гипотезами.

Следствием двух основных теорем теории вероятностей – теоремы сложения и теоремы умножения – являются формула полной вероятности и формула Байеса.

Теорема. Пусть на заданном вероятностном пространстве определена полная группа несовместных событий ,,…,и событиеможет появиться с одним из данных событий. Вероятности,, заданы, условные вероятноститакже заданы для всех. Тогда справедливаформула полной вероятности

.

События ,,…,называются гипотезами.

Пример 1. В цехе три группы станков производят одни и те же детали. Производительность их одинакова, но качество работы различно. Известно, что станки первой группы дают 3% брака, второй группы – 5 %, третьей – 4%. Все произведенные в цехе детали сложены на складе. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бракованной, если станков первой группы 5 штук, второй – четыре, третьей – три.

Решение. Обозначим событие

–деталь бракованная.

Рассмотрим три гипотезы:

–деталь первой группы,

- деталь второй группы,

–деталь третьей группы.

Тогда искомая вероятность вычисляется по формуле

.

Что означает каждая вероятность?

–вероятность того, что взятая деталь оказалась сделанной станками 1 группы,

–вероятность того, что взятая деталь оказалась сделанной станками 2 группы,

–вероятность того, что взятая деталь оказалась сделанной станками 3 группы.

Всего станков . Тогда

, ,.

–вероятность того, что взятая деталь оказалась бракованной, при условии, что она сделана станками 1-ой группы; .

Аналогично ,.

Имеем

.

Пример 2. Имеется две урны. В первой лежат 3 белых и 4 черных шара, во второй – 5 белых и 2 черных. Наудачу выбирается урна и из нее вынимается шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

Решение. Обозначим через событие «вынут белый шар».

- выбрана первая урна,

- выбрана вторая урна.

Тогда поскольку эти события равновозможны.

Найдем условные вероятности.

Вероятность того, что вынут белый шар при условии, что выбрана первая урна, равна

.

Вероятность того, что вынут белый шар при условии, что выбрана вторая урна, равна

.

Тогда по формуле полной вероятности получаем вероятность события

.

Следствием формулы полной вероятности является формула Байеса или теорема гипотез. Она позволяет переоценить вероятности гипотез , принятыхдо опыта и называемых априорными («a priori» - доопытные) по результатам уже проведенного опыта, т.е. найти условные вероятности , которые называются апостериорными («a posteriori» - послеопытные).

Формула Байеса позволяет находить вероятности гипотез при условии, что произошло событие .

Теорема. Пусть на заданном вероятностном пространстве определена полная группа несовместных событий ,,…,и событиеможет появиться с одним из данных событий. Вероятности,, заданы, условные вероятноститакже заданы для всех. Тогда справедлива формула

.

Пример 3. В урне лежит шар: либо белый, либо черный. В урну кладут белый шар. Затем вынимают из урны шар. Этот шар оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар.

Решение. Введем обозначения - в урне лежал белый шар,

- в урне лежал черный шар,

- из урны достали белый шар.

Белый шар в урне после того, как из нее вынули белый шар, может остаться только в том случае, когда там изначально лежал белый шар. Т.е. необходимо найти вероятность .

Вероятности событий иравны

.

Условные вероятности

, .

Тогда .

Пример 4. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение. Введем обозначения

–деталь отличного качества,

–деталь произведена первым автоматом,

–деталь произведена вторым автоматом.

Вопрос задачи сводится к нахождению вероятности .

Используем формулу Байеса

.

–вероятность того, что деталь произведена первым автоматом.

, так как производительность 1-го автомата в 2 раза больше производительности второго;

.

–вероятность того, что деталь хорошего качества, при условии, что ее сделал первый автомат

Аналогично .

По формуле Байеса

.