Тема 9. Законы распределения двумерной случайной величины

Двумерной случайной величиной называют величину , каждое возможное появление которой представляет собой пару чисел.

Пример. число и средняя длительность телефонных разговоров, две координаты попадания снаряда.

Функцией распределения двумерной случайной величины называется функция

.

Свойства двумерной функции распределения

1. .

2. Функция распределения непрерывна слева по всем аргументам.

3. Функция распределения не убывает по всем аргументам.

4. При функцияи

при функция(стремление хотя бы по одному аргументу).

5. При ифункция.

6. При функция,

при функция.

7. Вероятность попадания случайной величины в прямоугольник ,вычисляется по формуле

Двумерной плотностью вероятности называется функция

.

Свойства двумерной плотности вероятности

1. Условие неотрицательности: .

2. Условие нормировки: .

3. Условия согласованности:

,

Плотность вероятности и функция распределения двумерной случайной величины связаны между собой соотношениями

,

.

Для дискретной случайной величины распределение может быть задано в виде таблицы распределения, в которой каждой паре значений ,,, ставится в соответствие вероятность появления этой пары.

				...
				...
				...
...		...	...	...

Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин

Рассмотрим двумерную дискретную случайную величину . Допустим, что в результате опыта составляющаяприняла значение. При этом составляющаяможет принять одно из возможных значений.

Обозначим условную вероятность того, что случайная величина примет значение при условии, что составляющаяприняла значениечерез.

Условным распределением составляющей при условии, что, называется совокупность вероятностей,, ...,, вычисленных в предположении, что событиенаступило.

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно вычислить условные законы распределения составляющих:

,

.

Пример 1. Двумерная случайная величина задана таблицей распределения:

		0,1	0,3	0,2
		0,06	0,18	0,16

Записать закон распределения составляющей при.

Решение. Рассчитаем условные вероятности:

,

,

.

Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин

Условной плотностью распределения составляющейпри данном значенииназывается функция

,

где - плотность распределения системы случайных величин,

- плотность распределения составляющей .

Если известна плотность совместного распределения, то условные плотности составляющих могут быть найдены по формулам:

, .

Пример 2. Плотность совместного распределения системы двух непрерывных случайных величин задана формулой

Найти условную плотность вероятности .

Решение. Используем вышеприведенную формулу

при .

Так как при, топри.