Действия над событиями.

1. Объединением (суммой) двух событий иназывается событие, которое заключается в появлении хотя бы одного из этих событий (т.е. либо, либо, либоивместе). Если события несовместны, то пишут.

2. Пересечением (произведением) двух событий иназывается событие, которое заключается в одновременном появлении этих событий (т.е А и В одновременно).

3. Разностью двух событий иназывается событие, которое заключается в появлении событияи не появлении.

Вероятность и ее свойства.

Любому событию можно поставить в соответствие некоторую числовую характеристику, которая определяет степень возможности появления данного события в конкретных условиях и называется вероятностью.

Вероятность события обозначается.

Вероятность удовлетворяет трем аксиомам Колмогорова:

1. Аксиома неотрицательности: .

2. Аксиома нормировки: .

3. Аксиома аддитивности: если события ,,…,несовместны, то.

Свойства вероятности

1. Вероятность невозможного события равна 0.

2. Вероятность противоположного события равна

.

3. Если событие является подсобытием, то

.

4. Вероятность любого события не превосходит 1:

.

5. Для любых событий исправедливо равенство.

Классическое определение вероятности

Пусть пространство элементарных событий содержитэлементарных событий, вероятности которых одинаковы. Пусть наступлению событияблагоприятствуетэлементарных событий. Тогда вероятность событияопределяется по формуле

Классическое определение вероятности применимо, когда пространство элементарных событий конечно и элементарные события равновозможны.

Статистическое определение вероятности

Случайное событие является следствием очень многих обстоятельств, точно учесть которые невозможно. Теория вероятностей не отвечает на вопрос, произойдет или не произойдет некоторое единичное случайное событие. Например, если один раз бросить монету, то нельзя сказать, упадет она «гербом» кверху или нет. Если же бросить монету 1000 раз, то примерно 500 раз появится «герб».

Пусть есть некоторое событие . Производитсяопытов. В числе опытовсобытиеимеет место. Допустим, что пределсуществует. Тогда он называется вероятностью события:

.

При помощи статистического определения можно получить вероятность любого события.

Недостатком статистического определения вероятности является неоднозначность статистической вероятности; так в примере с бросанием монеты в качестве вероятности можно принять не только число 0,5, но и 0,49 или 0,51 и т.д. Для надежного определения вероятности нужно проделать большое число испытаний (опытов), что не всегда просто.

Пример 3. В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что вынутый наудачу шар будет белым?

Решение. Пусть – событие, состоящее в том, что вынут белый шар. Общее число исходов 12+8=20, число случаев, благоприятных событию, равно 12.

.

Элементы комбинаторики

Согласно классическому определению подсчет вероятности события сводится к подсчету числа благоприятных ему исходов. Делают это обычно комбинаторными методами.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов.

Задачи комбинаторики отвечают на вопрос: «Сколькими способами?...»

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух важных правил, называемых соответственно правилами умножения и суммы.

Правило 1. Правило умножения (основной принцип).

Если из некоторого конечного множества первый объект (элемент ) можно выбратьспособами и после каждого такого выбора второй объект (элемент) можно выбратьспособами, то оба объекта (и) в указанном порядке можно выбратьспособами. (Этот принцип распространяется на случай трех и более объектов).

Пример 4. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если:

а) цифры не повторяются;

б) цифры могут повторяться?

Решение.

а) Имеется 5 различных способов выбора цифры для первого места (слева в трехзначном числе). После того, как первое место занято, осталось четыре цифры для заполнения второго места. Для заполнения третьего места остается выбор из трех цифр. Согласно правилу умножения имеется способа расстановки цифр.

б) Если цифры могут повторяться, то трехзначных чисел способов.

Правило 2. Правило суммы.

Если некоторый объект можно выбратьn способами, а объект можно выбратьспособами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (или) можно выбратьспособами. (Это правило распространяется на любое конечное число объектов)

Пример 5. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать для выполнения различных заданий двух девушек или двух юношей (двух студентов одного пола)?

Решение. По правилу умножения двух девушек можно выбрать способами, а двух юношей –способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студенток или двух юношей. Согласно правилу сложения таких способов выбора.

Многие задачи по теории вероятностей решаются без использования выше рассмотренных правил, а с помощью комбинаторных формул. Каждая формула определяет число комбинаций, которые можно составить из элементов множества, выбираяэлементов.

Существует две схемы выбора элементов () из исходного множества:

1. Без возвращения (без повторений).

2. С возвращением (с повторением).

В первом случае выбранные элементы не возвращаются обратно; можно отобрать сразу все элементов или последовательно отбирать их по одному.

Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге.

Схема выбора без возвращений

Рассмотрим множество, состоящее из различных элементов.

Соединения, отличающиеся друг от друга составом элементов или их порядком, каждое из которых содержит элементов взятых изэлементов, называютсяразмещениями.

Обозначаются . Читается – число размещений, взятых изпо, вычисляется по формуле

,

где (факториал), 1! = 1, 0! = 1.

Пример 6. Сколько трехзначных чисел можно составить из чисел 1,2,3,4,5, если цифры не повторяются?

Решение. , . Получаемые соединения должны отличаться составом элементов и их порядком, следовательно, используем формулу размещений:

.

Соединения, отличающиеся друг от друга, по крайней мере одним элементом, каждое из которых содержит элементов взятых изэлементов, называютсясочетаниями. (Порядок элементов роли не играет)

Обозначается , читается – число сочетаний изпо, вычисляется по формуле

.

Пример 7. В бригаде из 25 человек нужно выбрать 4-х для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Необходимо выбрать 4 элемента из 25 возможных, причем порядок выбора не важен, следовательно, используем формулу сочетаний:

.

Соединения, каждое из которых содержит различных элементов,взятых в определенном порядке, называются перестановками. (Рассматриваются все элементов, отличаются только порядком)

Вычисляются по формуле

Пример 8. Сколькими способами можно расставить 6 различных книг на одной полке?

Решение. .

Пример 9. Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики? А если выбрать 1 красную гвоздику и 2 розовых?

Решение.

1) Т.к. порядок выбора цветов не имеет значения, то выбрать 3 цветка из вазы можно способами.

2) Выбрать 2 розовые гвоздики из имеющихся можно способами, одну красную из имеющихся 10 можно выбрать 10 способами. По правилу умножения букет из одной красной и 2-х розовых гвоздик можно составитьспособами.

Схема выбора с возвращением.

Если при выборке элементов изэлементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что эторазмещения с повторениями.

Вычисляются по формуле

.

Пример 10. Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры 2, 5, 7, 8?

Решение. Все пятизначные числа, составленные из заданных цифр, могут отличаться либо порядком их следования, либо самими цифрами, следовательно, они являются размещениями из 4-х элементов по 5 с повторениями.

= 4⁵= 1024 (этот результат можно получить, используя правило умножения).

Если при выборке элементов изэлементов множества элементы возвращаются, но не упорядочиваются, то говорят, чтоэто сочетания с повторениями.

.

Пример 11. Сколькими способами можно составить букет из 5 цветов, если в наличии есть цветы трех сортов?

Решение. Рассматриваемое множество состоит из трех различных элементов, а выборки имеют объем, равный 5. Поскольку порядок расположения цветов в букете не играет роли, то искомое число букетов равно числу сочетаний с повторениями из трех элементов по 5 в каждом. По формуле имеем

Пусть во множестве из элементов естьразличных элементов, при этом 1-ый элемент повторяетсяраз, второй элемент –раз,…,-тый элемент –раз, причем. Перестановки изэлементов данного множества называют перестановками с повторениями изэлементов

Пример 12. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 3,3,5,5,8?

Решение. Всего элементов 5 ().

Первый элемент 3 повторяется 2 раза, следовательно,

.

Второй элемент 5 повторяется 2 раза,

Третий элемент 8 повторяется 1 раз,