Тема 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность

1. Вероятность суммы несовместных событий

Теорема. Если и– несовместные события, то справедлива формула

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие. Если ,,...,– попарно несовместные события, то справедлива формула

.

Пример 1. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна «дама»?

Решение. Обозначим

–из 3-х выбранных карт окажется хотя бы одна «дама»,

–из 3-х выбранных карт окажется одна «дама»,

–из 3-х выбранных карт окажется две «дамы»,

–из 3-х выбранных карт окажется три «дамы».

Тогда , причем события,,– несовместные. Поэтому

.

Число возможных случаев выбора трех карт из 36 равно . Число случаев, благоприятных событиям,,, соответственно равны

, , .

Таким образом,

.

Задача решается проще, если воспользоваться формулой вероятности противоположного события.

Событие - среди выбранных карт нет ни одной дамы.

.

Значит искомая вероятность

.

2. Теорема умножения вероятностей

Событие называетсянезависимым от события , если вероятность событияне зависит от того, произошло событиеили нет. Событиеназываетсязависимым от события , если вероятность событияменяется в зависимости от того, произошло событиеили нет.

Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место другое событие, называетсяусловной вероятностью события и обозначаетсяили. Читается так: вероятность событияпри условии, что произошло событие.

Пример 2. Брошена игральная кость. Событие - выпала цифра 4.

Безусловная (обычная) вероятность .

Пусть известно, что произошло событие – выпала четная цифра (т.е. 2, 4, 6) – всего три возможных исхода. Событиюблагоприятствует один из них – цифра 4, следовательно, условная вероятность.

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

или .

Если событие не зависит от события, то и событиене зависит от события. Тогда

.

Пример 3. Выборка шаров без возвращения. Пусть в урне находится 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Выбираем наудачу один шар; не возвращая его в урну, выбираем второй шар. С какой вероятностью оба шара будут белыми?

Решение. Пусть событие заключается в том, что первый раз вынут белый шар, его вероятность. Если событиепроизошло, то в урне осталось 2 белых и 7 черных шаров. Вероятность того, что второй шар тоже является белым – это условная вероятность, она составляет. Тогда по теореме умножения вероятностей

.

3. Вероятность суммы совместных событий

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения

.

Пример 4. Бросают две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

Решение. Введем обозначения:

–появление шестерки на первой кости,

–появление шестерки на второй кости.

Тогда – появление хотя бы одной шестерки при бросании двух костей.

События исовместные. По формуле суммы двух совместных событий находим

.