- •Содержание
- •Классификация случайных событий
- •Действия над событиями.
- •Элементы комбинаторики
- •Примеры вычисления вероятностей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 3. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 4. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 6. Случайные величины
- •Формы законов распределения дискретной случайной величины
- •Формы законов распределения непрерывной случайной величины
- •Свойства плотности вероятности:
- •Свойства функции распределения:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 7. Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 8. Основные законы распределения случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Тема 9. Законы распределения двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной функции распределения
- •Свойства двумерной плотности вероятности
- •Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин
- •Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин
- •Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Задачи для самостоятельно решения
- •Тема 10. Выборка и ее представление. Выборочные моменты
- •Эмпирическая функция распределения
- •Выборочные характеристики
- •Выборочные моменты
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 11. Методы нахождения точечных оценок
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 12. Интервальные оценки. Построение доверительных интервалов
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 13. Задачи проверки статистических гипотез
- •Правила проверки гипотез
- •Критерий - Пирсона
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Приложения
- •Критические точки распределения с числом степеней свободына уровне значимости
- •Критические точки -распределения Стьюдента
- •Критические точки распределения Фишера-Снедекора
Выборочные характеристики
К показателям, характеризующим центр распределения, относят различные виды средних (арифметическое, геометрическое и т.п.), а также моду и медиану.
Простейшим показателем, характеризующим центр выборки, является мода.
Мода (М0) – это такое значение варианты, что предшествующее и следующее за ним значения имеют меньшие частоты встречаемости (наиболее вероятная величина).
Для одномодальных распределений мода – это наиболее часто встречающаяся варианта в данной совокупности.
Например, мода распределения:
16 |
17 |
18 |
20 | |
5 |
1 |
20 |
6 |
равна 18.
Для определения моды интервальных рядов служит формула:
,
где – нижняя граница модального класса, т.е. класса с наибольшей частотой встречаемости;
–частота модального класса;
–частота класса, предшествующего модальному;
–частота класса, следующего за модальным;
- ширина классового интервала.
Медиана – это значение признака, относительно которого ряд распределения делится на две равные по объему части. Иначе говоря, медиана (выборочная медиана) – это число, которое является серединой выборки, т.е. половина чисел имеет значения большие, чем медиана, а половина чисел имеет значения меньшие, чем медиана. Для нахождения медианы обычно выборку ранжируют – располагают элементы в порядке возрастания.
Например, в распределении: 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28 медианой будет центральная варианта, т.е. ,т.к. по обе стороны от нее отстоит по 4 варианты.
Для ряда с четным числом членов: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24 медианой будет полусумма его центральных членов, т.е. .
Показателями, характеризующими форму распределения, являются выборочные эксцесс и асимметрия.
Эксцесс – это степень выраженности «хвостов» распределения, т.е. частоты появления удаленных от среднего значений. В качестве показателя эксцесса используется величина . Если,то эксцесс считают положительным (график ряда распределения островершинный), в противном случае – плосковершинный.
Асимметрия – величина, характеризующая несимметричность распределения элементов выборки относительно среднего значения. В качестве показателя асимметрии используется величина , которая называется нормированным моментом третьего порядка. Если(независимо от знака), то асимметрия считается существенной. Асимметрия принимает значения от -1 до 1. В случае симметрического распределения асимметрия равна 0.
Часто значения асимметрии и эксцесса используют для проверки гипотезы о том, что данные (выборка) принадлежат к определенному теоретическому распределению, в частности, нормальному распределению. Для нормального распределения асимметрия равна нулю, а эксцесс – трем.
Выборочные моменты
Начальным выборочным моментом - го порядка называется случайная величина
При начальный выборочный момент является оценкой математического ожидания генеральной совокупности и называетсявыборочное среднее
.
Центральным выборочным моментом - го порядка называется случайная величина
При центральный выборочный момент является оценкой дисперсии генеральной совокупности и называетсявыборочной дисперсией
.