Тема 10. Выборка и ее представление. Выборочные моменты

Математическая статистика – это раздел математики, изучающий математические методы обработки статистических данных с целью построения вероятностной модели случайного явления.

Исходными данными в математической статистике являются результаты статистического эксперимента, представленные в численном виде.

Статистический эксперимент обычно состоит из отдельных наблюдений за некоторой случайной величиной. Результат отдельного наблюдения случаен и может быть описан случайной величиной.

Совокупность результатов всех наблюдений называетсявыборкой. Конкретные значения, полученные в эксперименте, называются выборочными значениями . Число элементов выборкиназываетсяобъемом выборки.

На основе выборочных значений строятся оценки функции распределения и числовых характеристик генеральной совокупности.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение наблюдалосьраз, значениенаблюдалосьраз, …,наблюдалосьраз. Объем выборки Выборочные значения иначе называютсявариантами, а последовательность вариант, записанная в возрастающем порядке – вариационным рядом. Число называютчастотой варианты , а числоназываютотносительной частотой. Разность называется размахом выборки.

Важной характеристикой вариационного ряда является его медиана (или середина), которая равна при нечетном, т.е.ипри четном объеме выборки.

Выборочным распределением (статистическим рядом) называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Пример 1. Задано распределение частот выборки объема . Написать распределение относительных частот.

	2	6	12
	3	10	7

Решение: ,,

, .

	2	6	12
	0,15	0,5	0,35

Для наглядности статистический ряд представляют графически в виде полигонов и гистограмм частот.

Полигон, как правило, служит для изображения дискретного статистического ряда и представляет собой ломаную линию, в которой концы отрезков прямой имеют координаты ,,...,.Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки ,,...,.

Гистограмма (статистический аналог плотности) служит для изображения интервальных (непрерывных) статистических рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака и высотами, равными частотам. Если соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то можно получить полигон того же распределения. Для построения гистограммы используют метод группировки: т.е. область возможных значений разбивают на некоторое число непересекающихся интервалов, подсчитывают количество наблюдений, попавших в соответствующий интервал – это,, и строят кусочно-постоянную функцию, где – длина соответствующего интервала. Заметим, что метод группировки применяется и для дискретных данных. Относительные частотыn_i/n в любом случае являются статистическими аналогами (оценками) для вероятностей.

Эмпирическая функция распределения

Важной сводной характеристикой выборки является эмпирическая функция распределения (функция распределения выборки), которая определяется формулой

,

где – число наблюдений, при которых значение признака меньше,– объем выборки.

Свойства эмпирической функции распределения

1. Функция определена на всей числовой прямой.

2. Монотонно не убывает.

3. Является ступенчатой, со скачками в точках .

4. При .

5. При .

Функция при большом числе наблюдений близка в каждой точке к теоретической функции распределения. Поэтому для больших выборок график эмпирической функции распределения дает хорошее приближение к (неизвестной) теоретической функции распределения. В этом смысле о функцииговорят как остатистическом аналоге для .

Пример 2. Построить по данной выборке эмпирическую функцию распределения и полигон относительных частот

	2	6	8	10
	6	16	18	20

Решение. Объем выборки . Составим функцию:

или

График этой функции изображен на рис. 6.

Рис. 6.

По таблице относительных частот построим полигон (рис. 7).

	2	6	8	10
	6/60	16/60	18/60	20/60

Рис. 7.