- •IV. Теория вероятности и математическая статистика Справочный материал и принципы решения задач
- •Классическое определение вероятности
- •Элементы комбинаторики
- •3. Геометрическое определение вероятности
- •4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •6. Повторение независимых испытаний. Схема Бернулли
- •7. Δ-функция и ее свойства
- •Примеры линейных функционалов на
- •8. Законы распределения и числовые характеристики случайных величин
- •Свойства плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины
- •Примеры распределений дискретных случайных величин
- •Примеры распределений непрерывных случайных величин
- •9. Двумерные случайные величины
- •Свойства функции и плотности распределения вероятности
- •Свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции
- •Свойства математического ожидания и дисперсии
9. Двумерные случайные величины
Вектор , координаты которого есть случайные величины, заданные на одном и том же вероятностном пространстве, называетсяслучайным вектором, а функция называется функцией распределения вероятности случайного вектораили двумерной случайной величины.
Если координаты вектора – дискретные случайные величины, тоназываютдискретным случайным вектором.
Закон распределения дискретной двумерной случайной величины представляет собой таблицу
-
…
…
…
…
…
…
…
…
где Так же как и для одномерной дискретной случайной величины должно выполняться условие нормировки .
Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения составляющих, то есть случайных величин и. Для этого достаточно просуммировать вероятности по строкам и по столбцам соответственно. Знание законов распределения составляющих позволяет найти числовые характеристики составляющих, а также их корреляционный момент.
Если функцию распределения вероятности вектора можно представить в виде, то случайную величинуназываютнепрерывной двумерной случайной величиной, а – ее плотностью распределения вероятности.
Свойства функции и плотности распределения вероятности
1) .
2) .
3) 0.
4) .
5) ,, гдеи– функции распределения вероятности случайных величини.
6) В любой точке непрерывности функции ,.
7) .
8) .
9) .
10) ,,
где и– плотности распределения случайных величини.
Условной плотностью распределения случайной величины при условии, чтоназывают функцию,
Аналогично определяют ,
Равенство называют теоремой умножения плотностей вероятности.
Случайные величины иназываютсянезависимыми, если для любых чисел ,случайные событияинезависимы (см. стр.12).
Случайные величины независимы, если выполняется любое из условий:
.
или .
Для двумерных случайных величин вводят понятия начальных и центральных моментов, из которых наиболее часто используются математические ожидания ,и дисперсии,составляющих, а также условные математические ожидания и корреляционный момент.
Условным математическим ожиданием для дискретного случайного вектора называется сумма:
Для двумерных непрерывных случайных величин условным математическим ожиданием называется интеграл:
Величина называетсякорреляционным моментом (ковариацией) двух случайных величин и.
Если – непрерывная двумерная случайная величина с плотностью распределения, то
,
где .
Для дискретного случайного вектора
.
Величина называется коэффициентом корреляции случайных величини.
Если , то случайные величиныиназываются некоррелированными.