- •IV. Теория вероятности и математическая статистика Справочный материал и принципы решения задач
- •Классическое определение вероятности
- •Элементы комбинаторики
- •3. Геометрическое определение вероятности
- •4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •6. Повторение независимых испытаний. Схема Бернулли
- •7. Δ-функция и ее свойства
- •Примеры линейных функционалов на
- •8. Законы распределения и числовые характеристики случайных величин
- •Свойства плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины
- •Примеры распределений дискретных случайных величин
- •Примеры распределений непрерывных случайных величин
- •9. Двумерные случайные величины
- •Свойства функции и плотности распределения вероятности
- •Свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции
- •Свойства математического ожидания и дисперсии
8. Законы распределения и числовые характеристики случайных величин
Пусть (Ω, S, Р) – вероятностное пространство. Случайной величиной ξ будем называть функцию, действующую из пространства элементарных событий Ω в R1, то есть ξ: Ω→R1, удовлетворяющую следующему условию:
Для любых чисел ,случайное событие
Так как вероятность Р определена на σ – алгебре S, то это требование означает, что для случайной величины всегда можно подсчитать вероятность ее попадания в любой интервал.
Функцией распределения вероятности случайной величины называется функция,.
Отметим, что знание функции распределения случайной величины достаточно для того, чтобы найти вероятности любых событий:,,.
Различают два основных типа случайных величин: дискретные случайные величины и непрерывные случайные величины. В приложениях встречаются случайные величины смешанного типа.
Случайные величины, принимающие дискретное множество значений, называются дискретными случайными величинами. Непрерывной называется случайная величина , функцию распределения которой, можно представить в виде
.
Функция называетсяплотностью распределения вероятностей случайной величины .
Свойства функции распределения вероятности случайной величины
Функция распределения случайной величиныесть неубывающая функция;,,,.
Для дискретных случайных величин функция распределения кусочно-постоянная, непрерывная слева, имеет разрывы 1 рода в точках , и величина скачка равна. Здесьвсе возможные значения, которые может принимать дискретная случайная величина,
Достаточно часто для дискретных случайных величин используют удобный описательный термин закон распределения. Это перечень возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей.
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать таблицей (рядом распределения), графически (многоугольник распределения), аналитически.
Свойства плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины
1) .
2) .
3) в любой точке непрерывности.
4) .
Замечание. Для функции распределения дискретной случайной величины справедлива формула
,
где функция Хэвисайда. Дифференцируя последнее равенство, видим, что и для дискретной случайной величины можно ввести плотность распределения вероятности по формуле
.
Для случайных величин вводят понятия начальных и центральных моментов, из которых наиболее часто используются математическое ожидание и дисперсия.
Математическим ожиданием случайной величины называется число
(1)
Говорят, что математическое ожидание у случайной величины существует, если ряд (интеграл) (1) сходится абсолютно.
Дисперсией случайной величины называется число
.
Дисперсия вычисляется по формулам:
для дискретной случайной величины.
для непрерывной случайной величины, где .
Рассеивание возможных значений случайной величины от её математического ожидания часто характеризуют средним квадратическим отклонением .
Существует достаточно большое число законов распределения дискретных и непрерывных величин, которые встречаются в приложениях. Параметры этих законов являются числовыми характеристиками случайных величин или же числовые характеристики выражаются через параметры законов распределения.