Свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции

1) .

2) Если инезависимы, то. Обратное неверно: из некоррелируемости случайных величин не следует их независимость.

3) Если , то

4) .

5) .

6) .

7) .

Свойства математического ожидания и дисперсии

1) , где– постоянная.

2) .

3) .

4) .

Если , то.

Случайная величина называетсянеотрицательной , если она принимает только неотрицательные значения.

5) Если , то.

6) , где– постоянная.

7) .

8) .

Если , то.

9) .– постоянная.

10) .

11) .

Двумерная случайная величина называетсяраспределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения

.

Здесь ,,,,

–коэффициент корреляции случайных величин и. Для нормальной случайной величины понятия независимости и некоррелируемости эквивалентны.

Двумерная случайная величина распределена равномерно в области , если ее плотность распределения

Здесь – площадь области.

Пример 1. Дискретная двумерная случайная величина распределена по закону, приведенному в таблице

	–1	0	2
–1	0,2	0,1	0,3
1	0,1	0,1	0,2

Определить:

1) Законы распределения составляющих и,,;

2) условный закон распределения случайной величины при условии, что;

3) ;

4) коэффициент корреляции .

Решение. 1) Случайная величина может принимать два значенияи.

Событие, состоящее в том, что случайная величина примет значение, представляет собой сумму трех несовместных событий:,,. По теореме сложения вероятностей вероятность события, состоящего в том, случайная величинапримет значение, будет равна сумме вероятностей этих событий. Практически для нахождениядостаточно просуммировать вероятности первой строки двумерного закона распределения.

Аналогично находятся вероятности и других значений случайных величин и.

Законы распределения составляющих будут иметь вид

	–1	1
	0,6	0,4

	–1	0	2
	0,3	0,2	0,5

,

,

,

.

2) Условный закон распределения случайной величины при условии, что– это перечень возможных значений случайной величиныи условных вероятностей, которые вычисляются по формуле,

,

.

Условный закон распределения случайной величины при условии, чтобудет иметь вид

	–1	1

Сравнивая закон распределения случайной величины и условный закон распределения случайной величины, видим, что закон распределения случайной величинызависит от того, какое значение принимает случайная величина. Следовательно,– зависимые случайные величины.

3) Условное математическое ожидание дискретной случайной величины равно .

Для решаемой задачи .

4) Коэффициент корреляции .

Корреляционный момент для дискретной двумерной случайной величины равен.

Для решаемой задачи

.

Вычислим коэффициент корреляции

.

Пример 2. Пусть задан треугольник АВС с вершинами А(0,0), В(1,0), С(0,1). Обозначим область, ограниченную треугольником АВС через D. Двумерная случайная величина имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области, то есть

Найти постоянную , одномерные плотности,случайных величини, коэффициент корреляции, условную плотностьи условное математическое ожидание.

Рис. 3

Решение. 1) Постоянную найдем из условия нормировки

, ,

где – площадь треугольника.Значит

2) Уравнение прямой ВС имеет вид . Тогда областьможно аналитически задать следующим образом:

или .

3)

.

.

.

.

4) .

.

5)

.

Пример 3. Пара случайных величин иимеет совместное нормальное распределение с вектором математических ожиданийи ковариационной матрицей:

.

Известно, что . Найти.

Решение. Совместная нормальность пары случайных величин иобеспечивает нормальность каждой из них и любой их линейной комбинации, в частности величинанормальна с параметрами

, .

Подставляя в последнее соотношение элементы ковариационной матрицы

, ,,

получим

.

По условию , откуда, используя нормальность, получаем

.

Здесь функция распределения вероятности случайной величины,.

Искомые дисперсии равны, соответственно,

, .

Пример 4. Случайный вектор имеет вектор математических ожиданийи корреляционную матрицу.

, .

Вычислить вектор математических ожиданий случайного вектораи корреляционную матрицу вектора.

Решение. .

.

. .

.

=

.

Ответ: ,.

210