- •10. Функции случайных аргументов
- •11. Характеристические функции
- •Свойства характеристических функций
- •Примеры характеристических функций
- •12. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева
- •13. Квантили случайных величин
- •Свойства квантилей
- •14. Точечные и интервальные оценки параметров распределения
- •Примеры доверительных интервалов
- •15. Проверка статистических гипотез
- •16. Критерий
10. Функции случайных аргументов
Пусть на вероятностном пространстве задана случайная величина Рассмотрим действительную функцию действительного аргумента , область определения которой включает в себя множество возможных значений случайной величины x.
Случайная величина действующая по правилу называется функцией от скалярной случайной величины x.
Рассмотрим дискретную случайную величину x, которая задана своим законом распределения вероятностей.
-
x1
x2
…
xn
Р
p1
p2
…
pn
Тогда имеет закон распределения вероятностей
h |
φ(x1) |
φ(x2) |
… |
φ(xn) |
|
p1 |
p2 |
… |
pn |
При этом, если в верхней строке таблицы появляются одинаковые значения φ(xi), то соответствующие столбцы нужно объединить в один, приписав им суммарную вероятность.
Пример 1. Закон распределения случайной величины имеет вид
|
–1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Найти законы распределения случайных величин:
1) , 2) , 3) .
Решение. 1) Возможные значения случайной величины найдем, подставив в заданную функцию возможные значения случайной величины
: , , , .
Вероятности этих значений соответственно равны
, , , .
Так как среди значений нет повторяющихся, и они расположены в возрастающем порядке, то закон распределения случайной величины будет иметь вид
|
–1 |
1 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
2) Возможные значения случайной величины найдем, подставив в заданную функцию возможные значения случайной величины : , , , . Вероятности этих значений соответственно равны , , , .
Среди значений нет повторяющихся, однако они расположены не в возрастающем порядке. Для получения закона распределения случайной величины расположим значения в возрастающем порядке. Закон распределения случайной величины будет иметь вид
|
–1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3) Возможные значения случайной величины найдем,
подставив в заданную функцию возможные значения случайной величины : , , , . Вероятности этих значений соответственно равны , , , .
Среди значений есть повторяющиеся . Объединим эти значения в одно, вероятность которого будет равна сумме вероятностей и , то есть .
Для получения закона распределения случайной величины расположим значения в возрастающем порядке. Ряд распределения случайной величины будет иметь вид
|
2 |
3 |
6 |
|
|
|
|
Если и – независимые дискретные случайные величины с возможными значениями и то может принимать значения Вероятности этих значений равны
.
Зная закон распределения случайной величины можно по известным формулам найти её числовые характеристики.
Пример 2. Независимые случайные величины имеют законы распределения
0 |
1 |
2 | |
и
Найти законы распределения случайных величин :
а) ; б) .
Решение. а) Возможные значения случайной величины – это , , , , , .
По теореме умножения вероятностей, вероятности этих значений соответственно равны
, , .
Составим таблицу значений и соответствующих им вероятностей
-
2
4
3
5
4
6
Среди значений есть повторяющиеся . Объединим эти значения в одно, вероятность которого будет равна сумме вероятностей и , то есть .
Для получения закона распределения случайной величины расположим значения в возрастающем порядке. Закон распределения случайной величины будет иметь вид
-
2
3
4
5
6
б) Возможные значения случайной величины – это , , , , , .
По теореме умножения вероятностей, вероятности этих значений соответственно равны
, , .
Составим таблицу значений и соответствующих им вероятностей
-
0
0
2
4
4
8
Среди значений есть повторяющиеся и . Объединим повторяющиеся значения. Вероятности объединенных значений будет равна сумме вероятностей и , то есть и сумме вероятностей и , то есть .
Для получения закона распределения случайной величины расположим значения в возрастающем порядке. Закон распределения случайной величины будет иметь вид
-
0
2
4
8
Пример 3. Бросаются 3 монеты. Пусть , если я монета выпала орлом вверх, и в противном случае, . Найти закон распределения случайной величины .
Решение. 1. Определяем пространство элементарных исходов.
Элементарными исходами рассматриваемого случайного эксперимента являются упорядоченные наборы чисел , где либо нуль, либо единица .
2. Определяем множество возможных значений .
Случайная величина на элементарном исходе принимает значение .
3. Составляем таблицу элементарных исходов и соответствующих им значений .
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
–1 |
2 |
0 |
0 |
1 |
4. Определяем вероятности возможных значений и строим ее закон распределения.
Всего элементарных исходов . Следовательно, вероятность элементарного исхода равна . Имеем
|
–1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Рассмотрим случай непрерывных случайных величин.
Пусть задана n-мерная случайная величина с плотностью распределения вероятности и задана функция . Чтобы определить случайную величину необходимо уметь вычислять вероятности для любых . Обозначим через D – множество точек
.
Тогда получим .
Определение. Скажем, что случайная величина , если для любых,
Рассмотрим уравнение где дифференцируемая функция и пусть , – функции, обратные к функции .
Тогда
;
;
;
.
Для случайного вектора с плотностью распределения , если , то .
Примеры функций случайных аргументов.
Распределение Пирсона с степенями свободы. Пусть и независимы. Тогда имеет плотность распределения
где – гамма-функция.
, .
Распределение Стьюдента с степенями свободы
,
где , , – независимые случайные величины, имеет плотность распределения
;
, , .
Пример 4. Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найти , , , где , .
Решение. Так как случайная величина равномерно распределена на отрезке , то
Следовательно,
.
.
Аналогично найдем
.
,
.
Пример 5. Случайная величина распределена по экспоненциальному закону с параметром . Найти , , , где, , .
Решение. По условию параметр экспоненциального распределения равен 4, следовательно,
.
Аналогично найдем
. Дважды интегрируя по частям, получим .
Пример 6. Плотность распределения случайной величины равна . Найти плотность распределения случайной величины .
Решение. Так как функция строго возрастающая при всех и имеет обратную, то плотность распределения случайной величины найдем по формуле
Для этого находим , Подставляем эти выражения в формулу, представляющую решение задачи в общем виде. То есть плотность распределения случайной величины будет равна
.
Пример 7. Плотность распределения случайной величины
равна . Найти плотность распределения случайной величины .
Решение. 1 способ. Решение задачи располагаем в виде двух столбцов: слева будем писать обозначения функций, принятые в общем случае; справа – конкретные функции, соответствующие данному примеру. Учитывая, что, несмотря на разрывный характер функции обратная функцияоднозначна, и решая задачу по правилам для монотонной функции, получаем:
2 способ.
.
Пример 8. Случайная величина распределена равномерно на интервале [0,2].
Функция задана графически
Рис. 3
Найти плотность распределения вероятности случайной величины .
Решение. В данном случае функцию аналитически можно задать следующим образом: или
Плотность распределения случайной величины имеет вид
Для нахождения воспользуемся формулой . Тогда
==.
=,
где – функция Хэвисайда.
Итак, .
Пример 9. Случайная точка распределена равномерно внутри круга радиуса Найти математическое ожидание случайной величины .
Решение. Плотность распределения вероятности
= =
.
В приложениях часто используется следующая теорема.
Теорема. Пусть независимые случайные величины, Тогда .
Замечание. Здесь и в дальнейшем запись означает, что непрерывная случайная величина имеет плотность распределения вероятности .
Замечание. Операция называется сверткой функции f1 и f2.
Пример 10. Независимые случайные величины имеют показательные распределения с параметрами и . Найти плотность распределения случайной величины .
Решение. По условию задачи случайные величины имеют плотности распределения
и
Так как случайные величины независимы, то их совместная плотность распределения
Случайная величина может принимать только положительные значения, следовательно
.