Задания

Задача 1. 1.1. По линии связи в случайном порядке передаются все буквы русского алфавита. Найти вероятность того, что на ленте появится последовательность букв, которая начинается словом “радио”.

1.2. Из урны, содержащей 4 шара, четыре раза наудачу вынимается по одному шару с возвращением каждый раз обратно. Найти вероятность того, что в руке перебывают все шары.

1.3. Имеются пять отрезков длиной 1, 3, 4, 7 и 9 см. Определить вероятность того, что из трех наугад взятых отрезков (из этих пяти) можно построить треугольник.

1.4. В партии из 22 изделий половина бракованных. Наудачу выбираются 5 изделий. Найти вероятность того, что выбранные изделия доброкачественные.

1.5. Трем радиостанциям разрешена работа на пяти частотах. Определить вероятность того, что по крайней мере две радиостанции будут работать на одинаковых частотах, если выбор частот производится наугад.

1.6. Какова вероятность того, что в январе наугад выбранного года окажется 5 воскресений?

1.7. Колода карт произвольным образом делится на две стопы по 26 карт в каждой. С какой вероятностью в каждой стопе окажется два туза?

1.8. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры номера и набрал их наугад. Определить вероятность того, что набраны нужные цифры.

1.9. В партии из 24 изделий – 14 бракованных. Наудачу извлекают 4 изделия. Найти вероятность того, что выбранные изделия доброкачественные.

1.10. По линии связи в случайном порядке передаются все буквы русского алфавита. Найти вероятность того, что на ленте появится последовательность букв, которая начинается словом “столб”.

1.11. Из урны, содержащей 3 шара, три раза наудачу вынимается по одному шару с возвращением каждый раз обратно. Найти вероятность того, что в руке перебывают все шары.

1.12. Имеются пять отрезков длиной 2, 4, 5, 8 и 10 см. Определить вероятность того, что из трех наугад взятых отрезков (из этих пяти) можно построить треугольник.

1.13. В партии из 32 изделий половина стандартных. Наудачу выбираются 6 изделий. Найти вероятность того, что выбранные изделия нестандартные.

1.14. Трем радиостанциям разрешена работа на четырех частотах. Определить вероятность того, что, по крайней мере, две радиостанции будут работать на одинаковых частотах, если выбор частот производится наугад.

1.15. Какова вероятность того, что в апреле наугад выбранного года окажется 5 воскресений?

1.16. Колода карт произвольным образом делится на две стопы по 18 карт в каждой. С какой вероятностью в каждой стопе окажется два туза?

1.17. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры номера и, помня, что среди них нет 1, набрал их наугад. Определить вероятность того, что набраны нужные цифры.

1.18. Колода карт произвольным образом делится на две стопы по 18 карт в каждой. С какой вероятностью в каждой стопе окажется два короля?

1.19. Какова вероятность того, что в апреле наугад выбранного года окажется 4 вторника?

1.20. Какова вероятность того, что случайно названное двузначное число будет делиться на три без остатка?

1.21. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма очков, выпавших на обеих костях, не превзойдет 5? 

1.22. Из натуральных чисел от 3 до 11 случайно выбираются два числа. Какова вероятность того, что сумма выбранных чисел окажется больше 10?

1.23.Какова вероятность того, что случайно названное двузначное число будет кратно семи?

1.24. Какова вероятность того, что случайно названное двузначное число будет делиться на девять без остатка?

1.25. Из натуральных чисел от 4 до 12 случайно выбираются два числа. Какова вероятность того, что модуль разности выбранных чисел окажется больше 6?

1.26. Из 10 проданных за день холодильников 4 имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что среди выбранных наудачу 5 холодильников окажется ровно 2 без скрытых дефектов.

1.27. Какова вероятность того, что случайно названное двузначное число будет делиться на пять без остатка?

1.28. Какова вероятность того, что случайно названное двузначное число окажется простым числом?

1.29. Какова вероятность того, что случайно названное двузначное число будет кратно тринадцати?

1.30. Какова вероятность того, что в январе наугад выбранного года окажется 4 понедельника?

Задача 2. Коэффициенты иквадратного уравнениянаудачу выбираются из множества целых чисел. Какова вероятность того, что:

полученное квадратное уравнение не имеет действительных корней? (для вариантов 1 – 15);

полученное квадратное уравнение имеет действительные корни? (для вариантов 15 – 30).

Задача 3. Параметры иуравнения кривой второго порядканаудачу выбираются из множества целых чисел. Какова вероятность того, что:

полученное уравнение является уравнением эллипса? (для вариантов 1 – 15);

полученное уравнение является уравнением гиперболы? (для вариантов 15 – 30).

Задача 4. Элементы иматрицынаудачу выбираются из множества целых чисел. Какова вероятность того, что определитель полученной матрицы будет:

неотрицательным? (для вариантов 1 – 15);

неположительным? (для вариантов 15 – 30).

Задача 5. Даны два вектора и. Координаты векторанаудачу выбираются из множества целых чисел. Какова вероятность того, что:

модуль вектора будет больше модуля вектора? (для вариантов

1 – 15);

модуль вектора будет меньше модуля вектора? (для вариантов

15 – 30).

Задача 6. Из колоды в 32 карты (для вариантов 1 – 15) или 36 карт (для вариантов 16 – 30) наудачу извлекают m карт. Какова вероятность того, что среди извлеченных карт окажутся:

а) туз? б)туз икоролей? в)туз,королей идам?

г) хотя бы один туз?

Задача 7. В трех урнах находятся шары с номерами от 1 до 9. Трехзначное число составляется следующим образом: из первой урны наудачу извлекают шар, его номер – число единиц; номер шара наудачу извлеченного из второй урны – число десятков; номер шара наудачу извлеченного из третьей урны – число сотен. Какова вероятность того, что полученное число будет:

а) больше числа ? (для вариантов 1 – 15); б) меньше числа? (для вариантов 16 – 30).

Задача 8. На отрезке прямой , заключенном между осями координат, наудачу появляется точка. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до начала координат будет: а) меньше чем(для вариантов 1 – 15)?; б) больше чем(для вариантов 16 – 30)?

Задача 9. На дуге полукубической параболы наудачу появляется точка. Какова вероятность того, что эта точка появится на дуге этой параболы для которой:

a) (для вариантов 1 – 15)?; б)(для вариантов 16 – 30)?

Задача 10. Варианты 1 – 15. В круге радиуса наудачу появляется точка. Какова вероятность того, что она попадет в правильный -угольник, вписанный в этот круг?

Задача 10. Варианты 16 – 30. В правильном -угольнике со стороной наудачу появляется точка. Какова вероятность того, что она попадет в круг, вписанный в этот многоугольник?

Задача 11. В области, ограниченной осью и параболой, наудачу появляется точка. Какова вероятность того, что она попадет в область, ограниченную:

а) осью и прямой(для вариантов 1 – 15)?

б) прямой и параболой(для вариантов 16 – 30)?

Задача 12. В квадрат со стороной помещен круг радиуса. В квадрате наудачу появляется точка. Каким должен быть радиус круга, чтобы вероятность попадания точки в круг была бы равна?

Задача 13. Две точки независимо друг от друга наудачу выбираются на отрезке . Найти вероятность того, что координаты второй точки более чем враз превосходят координату первой точки.

Задача 14. Две точки независимо друг от друга наудачу выбираются на отрезке . Найти вероятность того, что разность квадратов координат первой и второй точек больше.

Задача 15. Коэффициенты иквадратного уравнениянаудачу выбираются из интерваловисоответственно. Какова вероятность того, что:

а) квадратное уравнение не имеет действительных корней (для вариантов 1 – 15)?

б) квадратное уравнение имеет действительные корни (для вариантов 16 – 30)?

Задача 16. В прямой круговой конус с радиусом основания и высотойвписан цилиндр, основание которого лежит в основании конуса, а высота равна. Какова вероятность того, что точка, наудачу помещенная в конус, попадет в цилиндр?

Задача 17.  В области, ограниченной поверхностями и, наудачу появляется точка. Какова вероятность того, что эта точка попадет в область, ограниченную поверхностями:

а) и(для вариантов 1 – 15)?

б) ;и(для вариантов 16 – 30)?

Задача 18. Варианты 1 – 15. В первой урне − белых ичерных шаров; во второй урне −белых ичерных шаров. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару. Какова вероятность того, что: а) оба извлеченные шары белые? б) оба извлеченные шары черные? в) один извлеченный шар белый, а другой − черный?

Задача 18. Варианты 16 – 30. В первой урне – белых ичерных шаров; во второй урне −белых ичерных шаров. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару. Какова вероятность того, что: а) оба извлеченные шары белые? б) оба извлеченные шары черные? в) один извлеченный шар белый, а другой – черный?

Задача 19. Варианты 1 – 15. В каждой из трех урн находится по 10 шаров черного и белого цвета, причем в первой урне белых, во второйчерных, в третьейбелых. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что: а) все извлеченные шары окажутся белыми?; б) все извлеченные шары окажутся черными?; в) среди извлеченных шаров будет один белый и два черных?; г) среди извлеченных шаров будет один черный и два белых?

Задача 19. Варианты 16 – 30. В каждой из трех урн находится по 10 шаров черного и белого цвета, причем в первой урне – черных, во второй –белых, в третьей –черных. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что: а) все извлеченные шары окажутся белыми?; б) все извлеченные шары окажутся черными?; в) среди извлеченных шаров будет один белый и два черных?; г) среди извлеченных шаров будет один черный и два белых?

Задача 20. Варианты 1 – 15. В первой урне – белых,синих икрасных шаров, во второй урне –белых,синих икрасных шаров, в третьей урне –белых,синих икрасных шаров. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что среди извлеченных шаров: а) хотя бы один будет красный шар? б) будет только один красный шар? в) все извлеченные шары будут разного цвета?

Задача 20. Варианты 16 – 30. В первой урне – белых,синих икрасных шаров, во второй урне –белых,синих икрасных шаров, в третьей урне –белых,синих икрасных шаров. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что среди извлеченных шаров: а) будет хотя бы один синий шар? б) будет только один синий шар? в) все извлеченные шары будут разного цвета?

Задача 21. В сборочный цех поступила партия из 100 деталей, из которых изготовлены на первом станке,– на втором станке и– на третьем. Вероятность изготовления качественной детали для первого станка равна 0,85, для второго – 0,9, для третьего станка – 0,95. Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется:

а) качественной (для вариантов 1 – 15)? б) некачественной (для вариантов 16 – 30)?

Задача 22.Варианты 1-15. Вероятность отказа элемента работающего в системе равна . Для повышения надежности работы системы этот элемент дублируется таким же, включаемым, если вышел из строя основной элемент. На сколько процентов повысилась надежность системы?

Задача 22.Варианты 16-30. Вероятность отказа элемента работающего в системе равна Для повышения надежности работы системы этот элемент дублируется таким же, включаемым, если вышел из строя основной элемент. На сколько процентов повысилась надежность системы?

Задача 23.Варианты 1-15. Вероятность отказа элемента работающего в системе равна Для повышения надежности работы системы этот элемент дублируется такими жеэлементами. Найти надежность системыдублирующих друг друга элементов. Сколько нужно взять элементов, чтобы повысить надежность системы до?

Задача 23. Варианты 16-30. Вероятность отказа элемента равна Для повышения надежности работы этот элемент дублируется такими жеэлементами. Найти надежность системыдублирующих друг друга элементов. Сколько нужно взять элементов, чтобы повысить надежность системы до?

Задача 24. В первой урне – белых ичерных шаров, во второй –белых ичерных шаров. Из первой урны наудачу извлекли один шар и переложили во вторую урну. После этого из второй урны наудачу извлекли один шар. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, окажется: белым (для вариантов 1 – 15)?; черным (для вариантов 16 – 30)?

Задача 25. В первой урне – белых ичерных шаров, во второй –белых ичерных шаров. Из первой урны наудачу извлекли два шара и переложили во вторую урну. После этого из второй урны наудачу извлекли один шар. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, окажется: белым (для вариантов 1 – 15)?; черным (для вариантов 16 – 30)?

Задача 26. В первой урне – белых ичерных шаров, во второй –белых ичерных шаров. Из первой и второй урн наудачу извлекли по одному шару и переложили в третью урну. После этого из третьей урны наудачу извлекли один шар. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из третьей урны, окажется: белым (для вариантов 1 – 15)?; черным (для вариантов 16 – 30)?

Задача 27. В первой урне – белых ичерных шаров, во второй –белых ичерных шаров. Из первой урны наудачу извлекли один шар, из второй – два шара и переложили в третью урну. После этого из третьей урны наудачу извлекли два шара. Какова вероятность того, что шары, извлеченные из третьей урны, окажутся: белыми (для вариантов 1 – 15)?; черными (для вариантов 16 – 30)?

Задача 28. В первой урне белых ичерных шаров, во второй –белых ичерных шаров. Из первой урны и второй урны наудачу извлекли по два шара и переложили в третью урну. Какова вероятность того, что в третьей урне окажется: белых шаров больше, чем черных (для вариантов 1 – 15)?; черных шаров больше, чем белых (для вариантов 16 – 30)?

Задача 29. В первой урне – белых исиних икрасных шаров, во второй –белых исиних икрасных шаров, в третьей урнесоответственно. Из первой урны наудачу извлекли один шар и переложили во вторую урну, затем из второй урны наудачу извлекли один шар и переложили в третью урну. После этого из третьей урны наудачу извлекли два шара. Какова вероятность того, что шары, извлеченные из третьей урны, окажутся: белыми и синими (для вариантов 1 – 15)?; красными и белыми (для вариантов 16 – 30)?

Задача 30. Изделия изготавливаются тремя бригадами сборщиков. Первая бригада изготавливает всех изделий, вторая –третья –Надежность изделия изготовленного первой бригадойвторой –третьей –Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие: не проработает гарантийное время (для вариантов 1 – 15)?; проработает гарантийное время (для вариантов 16 – 30)?

Задача 31. На складе имеются деталей. Из нихизготовлены на первом станке,– на втором и– на третьем. Первый станок дает в среднембрака, второй –брака и третийбрака. Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется: доброкачественной (для вариантов 1 – 15)?; бракованной (для вариантов 16 – 30)?

Задача 32. На сборочный конвейер поступают однотипные детали, изготавливаемые на трех станках. Производительности станков относятся как Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке, на втором –, на третьем –Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется: доброкачественной (для вариантов 1 – 15)?; бракованной (для вариантов 16 –30)?

Задача 33.В первой урне – белых ичерных шаров, во второй –белых ичерных шаров. Из первой урны наудачу извлекли один шар и переложили во вторую урну. После этого из второй урны наудачу извлекли один шар. Он оказался черным. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, первоначально находился: в первой урне (для вариантов 1 – 15)?; во второй урне (для вариантов 16 – 30)?

Задача 34. В первой урне – белых ичерных шаров, во второй –белых ичерных шаров. Из первой урны наудачу извлекли два шара и переложили во вторую урну. После этого из второй урны наудачу извлекли один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, первоначально находился: во второй урне (для вариантов 1 – 15)?; в первой урне (для вариантов 16 – 30)?

Задача 35. В первой урне – белых ичерных шаров, во второй –белых ичерных шаров. Из первой и второй урн наудачу извлекли по одному шару и переложили в третью урну. После этого из третьей урны наудачу извлекли один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из третьей урны, находился: в первой урне (для вариантов 1 – 15)?; во второй урне (для вариантов 16 – 30)?

Задача 36. На складе имеются деталей. Из нихизготовлены на первом станке,– на втором и– на третьем. Первый станок дает в среднембрака, второй −брака и третий –брака. Наудачу взятая деталь оказалась доброкачественной. Какова вероятность того, что она изготовлена: на втором станке (для вариантов 1 – 15)?; на первом станке (для вариантов 16 – 30)?

Задача 37. Изделия изготавливаются тремя бригадами сборщиков. Первая бригада изготавливает всех изделий, вторая –третья –Надежность изделия, изготовленного первой бригадойвторой –третьей –Наудачу взятое изделие не проработало гарантийное время. Какова вероятность того, что оно изготовлено первой бригадой (для вариантов 1 – 15)?; третьей бригадой (для вариантов 16 – 30)?

Задача 38. На сборочный конвейер поступают однотипные детали, изготавливаемые на трех станках. Производительности станков относятся как Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке –, на втором –, на третьем –. Наудачу взятая деталь оказалась доброкачественной. Какова вероятность того, что она изготовлена: на первом станке (для вариантов 1 – 15)?; на втором (для вариантов 16 – 30)?

Задача 39. Устройство состоит из трех деталей. Для сборки устройства наудачу из партии содержащей деталей, среди которых 2 бракованных, берется первая деталь из партии, содержащейдеталей, среди которых 3 бракованных, берется вторая деталь из партии, содержащейдеталей, среди которых 4 бракованных, берется третья деталь. В собранном изделии оказалась одна бракованная деталь. Какова вероятность того, что: это деталь из первой партии (для вариантов 1 – 15)?; из второй партии (для вариантов 16 – 30)?

Задача 40. Вероятность, выиграть по одному лотерейному билету равна . Какова вероятность, имея четыре билета, выиграть:

а) по одному билету (для вариантов 1 – 15); по двум билетам (для вариантов 16 – 30)?

б) хотя бы по двум билетам (для вариантов 1 – 15); хотя бы по трем билетам (для вариантов 16 – 30)?

в) хоть что-то (для вариантов 1 – 15); не выиграть ничего (для вариантов 16 – 30)?

Задача 41. Для освещения производственного помещения требуется электроламп. Вероятность перегорания каждой электролампы в течение года равна. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить:

а) все лампы (для вариантов 1 – 15); ни одной лампы (для вариантов

16 – 30)?

б) одну лампу (для вариантов 1 – 15); две лампы (для вариантов

16 – 30)?

Задача 42. Передается сообщение из символов. Каждый из символов при передаче может быть искажен с вероятностью. Какова вероятность того, что: сообщение не будет искажено (для вариантов 1 – 15); будет искажено (для вариантов 16 – 30)?

Задача 43. Для разрушения объекта требуется не менее попаданий. Сделановыстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле. Какова вероятность: разрушения объекта (для вариантов 1 – 15); не разрушения объекта (для вариантов 16 – 30)?

Задача 44.Монета подбрасывается раз. Какова вероятность того, что “герб” выпадет:

четное число раз (для вариантов 1 – 15); нечетное число раз (для вариантов 16 – 30)?

Рекомендация: используйте формулу или.

Задача 45. Вероятность отказа элемента, влияющего на работу системы равна . Для повышения надежности системы в неё включают ещетаких же элемента, работающих вместе с основным. Система выходит из строя, если отказали три и более элемента. Какова вероятность того, что: система выйдет из строя (для вариантов 1 – 15)?; система не выйдет из строя (для вариантов 16 –30)?

Задача 46. Вероятность изготовления доброкачественной детали на станке – автомате равна 0,95. Изготовлена партия из деталей. Какова вероятность того, что среди изготовленных деталей:

а) – бракованная деталь (для вариантов 1 – 15)?– бракованных деталей (для вариантов 16 – 30)?

б) число бракованных деталей составляет (для вариантов

1 – 15)? число бракованных деталей составляет (для вариантов 16 – 30)?

Задача 47. По каналу связи передается сообщение из символов. Вероятность искажения каждого символа при передаче сообщения равнаКакова вероятность того, что:

а) в принятом сообщении будет – искаженных символа (для вариантов 1 – 15); в принятом сообщении будет− искаженных символа (для вариантов 16 – 30)?

б) сообщение будет принято правильным, если для этого число искаженных символов не должно превышать (для вариантов 1 – 15);(для вариантов 16 – 30)?

Задача 48. Всхожесть семян составляет 98%. Какова вероятность того, что из посаженных семян взойдут не менее чем(для вариантов 1 – 15);(для вариантов 16 – 30)?

Задача 49. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна . Купленобилетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Задача 50. В партии, состоящей из изделий, среди которых имеетсябракованных, выбраны случайным образомизделия для проверки их качества. Требуется:

а) найти закон распределения вероятностей (ряд распределения) для числа бракованных изделий (случайной величины );

б) построить многоугольник распределения;

в) найти функцию распределения и построить её график;

г ) найти:

Задача 51. Производятся последовательные испытания приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытания для каждого из приборов равна. Требуется:

а) найти закон распределения вероятностей (ряд распределения) для числа приборов, подвергшимся испытаниям (случайной величины );

б) построить многоугольник распределения;

в) найти функцию распределения и построить её график;

г) найти P(ξ<a+1), , .

Задача 52. Дискретная случайная величина может принимать три значения,,. Вероятности этих значений соответственно равны. Найти математическое ожидание, дисперсиюи среднее квадратическое отклонение.

Задача 53. Дискретная случайная величина может принимать три значения, два из которых известныВероятности этих значений соответственно равныНайти закон распределения случайной величины, если известно её математическое ожидание.

Задача 54. Дискретная случайная величина может принимать три целых значения, одно из которых равно. Вероятности двух других значений равныи. Найти закон распределения случайной величины, если известно, что .

Задача 55. Плотность распределения вероятностей случайной величины задается соотношением

Найти параметр , функцию распределения вероятностей случайной величины,,,.

Задача 56. Плотность распределения вероятностей случайной величины задается соотношением

Найти параметр , функцию распределения вероятностей случайной величины,и,.

Задача 57. При работе сложной технической системы время от времени возникают неисправности (сбои). Поток сбоев можно считать простейшим. Среднее число сбоев за сутки равно Найти вероятности следующих событий:

–в течение суток произойдет хотя бы один сбой.

–за дней работы системы произойдет не менеесбоев.

–за 3 дня работы системы не будет ни одного сбоя.

Задача 58. Случайная величина имеет пуассоновское распределение и известно, что ее математическое ожиданиеи дисперсиясвязаны соотношением.

Найти: а) ;

б) математическое ожидание случайной величины .

Задача 59. Время безотказной работы электронной лампы – экспоненциальная случайная величина со средним Для увеличения надежности агрегата ставят параллельно несколько ламп. Сколько ламп следует запараллелить, чтобы с вероятностью, не меньшей, по крайней мере, одна из них не вышла из строя зачасов?

Задача 60. Случайная величина распределена по экспоненциальному закону и известно, что.

Найти и.

Задача 61. Случайная величина распределена равномерно на промежутке и известно, что ее математическое ожидание и дисперсияравны,.

Найти: a) ;

б) математическое ожидание случайной величины

.

Задача 62. Плотность распределения вероятностей случайной величины имеет вид. Найти:, математическое

ожидание , дисперсию, вероятность выполнения неравенства

Задача 63. Случайные ошибки измерения дальности до неподвижной цели подчинены гауссовскому закону с математическим ожиданиеми.

Определить вероятности того, что:

1) .

2) при трех независимых измерениях ошибка хотя бы одного измерения не превзойдет по абсолютной величине

Задача 64. На электронное реле воздействует случайное напряжение с релеевской плотностью вероятности

Какова вероятность срабатывания реле, если оно срабатывает всякий раз, когда напряжение на его входе превышаетвольт?

Задача 65. Дискретная двумерная случайная величина распределена по закону, приведенному в таблице,

где , кроме

	0	1	…
0			…
1			…
…	…	…	…	…
b				0

Определить: а) законы распределения составляющих и;

б) условный закон распределения случайной величины при условии, что;

в) ;

г) коэффициент корреляции ;

д) вычислить и, где.

Задача 66. Двумерная случайная величина имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области, то есть

Найти постоянную , одномерные плотностиислучайных величиниматематические ожидания,, дисперсиикоэффициент корреляцииусловную плотностьусловное математическое ожидание.

Задача 67. Двумерная случайная величина имеет плотность распределения вероятности, отличную от нуля в треугольной области.

Вариант (1 – 15)

Вариант (16 – 30)

Найти постоянную ,,(варианты 1 – 15); постоянную,(варианты 16 – 30).

Задача 68. Двумерная случайная величина распределена по нормальному закону с плотностью вероятности

.

Требуется:

а) определить коэффициент ;

б) плотности вероятности исоответственно величини;

в) найти вероятность попадания в круг .

Задача 69. Закон распределения случайной величины имеет вид

			0		1		2

Найти законы распределения случайных величин:

1) , 2), 3).

Задача 70. Бросаются четыре монеты. Пусть , еслимонета выпала орлом вверх и, в противном случае. Построить ряд распределения случайных величин

, .

Задача 71. Случайная величина распределена равномерно на интервалеНайти закон распределения вероятностей случайных величин

, ,.

Задача 72.  Случайная величина имеет плотность распределения вероятности. Найти плотность распределения вероятностей случайных величин,.

Варианты 1 – 13 ,

Варианты 14 – 26 ,

Варианты 27 – 30 .

Задача 73. Функция задана графически. Найти плотность распределения вероятностислучайной величины, зная плотность распределения вероятностислучайной величины. Рассмотреть случаи:

a) ;

б)

в) ;

г) .

Задача 74. Независимые случайные величины имеют показательные распределения с параметрамии. Найти плотность распределения случайной величины.

Задача 75. Случайная величина равномерно распределена на отрезкеНайтигде.

Задача 76. Случайная величина распределена по экспоненциальному закону с параметром. Найти,,, где,.

Задача 77. Случайная величина имеети. Найтии, если 1); 2);

Задача 78. Случайная величина распределена равномерно в интервале.

Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Варианты 1 – 7 ,

8 – 14 ,

15 – 22 ,

23 – 30 ,

где неслучайная величина.

Задача 79. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины , если независимые величиныиимеют равномерные распределения соответственно на интервалах

и .

Задача 80. Случайные величины исвязаны соотношением

.

Найти:

a) коэффициент корреляции ;

б) отношение среднеквадратичных отклонений .

Задача 81. Светящаяся точка со случайными координатамина экране монитора радиусаодинаково вероятно может занять любое положение на экране. Найти математическое ожидание случайных величин

, ,.

Задача 82. Случайный вектор имеет вектор математических ожиданийи корреляционную матрицу

.

.

Вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Задача 83. Случайный вектор имеет вектор математических ожиданийи корреляционную матрицу

.

, .

Вычислить вектор математических ожиданий случайного вектораи корреляционную матрицу вектора.

Задача 84. Пара случайных величин имеет нормальное распределение с вектором математических ожиданийи ковариационной матрицей

.

Известно, что .

Найти ,,.

Задача 85. На вычитающее устройство воздействуют независимые случайные сигналы и. Определить плотность распределения вероятности случайной величиныеслииимеют гауссовские плотности вероятности,,.

Задача 86. Сколько нужно произвести измерений, чтобы с вероятностью, не меньшей гарантировать отклонение среднего арифметического измерения от математического ожидания не более чем намм, если известно, чтомм.

Задача 87. Требуется определить средний рост мужчины двадцатилетнего возраста. У скольких мужчин, отобранных случайным образом, нужно измерить рост, чтобы с вероятностью, превышающей , можно было утверждать, что средний рост у отобранной группы будет отличаться от среднего роста всех двадцатилетних мужчин по абсолютной величине не более чем насм;.

Задача 88. Для определения качества производимой заводом продукции отобрано наудачу изделий. Из них бракованных оказалось. Частоту изготовления бракованных изделий принять за приближенное значение вероятности изготовления бракованного изделия. Определить, с какой вероятностью можно гарантировать, что допущенная при этом абсолютная погрешность не будет превышать.

Задача 89. Пусть случайная величина принимает значенияс вероятностямикаждое.равномерно распределенная на интервалеслучайная величина.инезависимы. Вычислить характеристические функции случайных величин,и.

Задача 90. Пусть случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром,распределена по нормальному закону со средними дисперсий.и– независимые случайные величины.

Вычислить характеристические функции случайных величин

, ,.

Задача 91. По каналу связи с помехами передается кодовая комбинация, состоящая из импульсов. В результате независимого воздействия помехи на эти импульсы каждый из них может быть подавлен с вероятностью. Определить характеристическую функцию случайной величины– числа подавленных помехами импульсов.

Указание. – дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону.

Задача 92. В ходе проведения эксперимента получен набор данных (см. табл.). Требуется:

а) выполнить группировку, построить полигон частот и эмпирическую функцию распределения.

б) найти точечные оценки математического ожидания и дисперсии.

в) определить доверительные интервалы для неизвестных математического ожидания и дисперсиикоторые отвечают заданной доверительной вероятности, в предположении, что выборка взята из нормальной генеральной совокупности.

г) проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности по критерию при уровне значимости.

Задача 93. Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданиеми известной дисперсиейПо выборкеобъемавычислено выборочное среднее Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения , отвечающий заданной доверительной вероятности

Задача 94. Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестными математическим ожиданиеми дисперсиейПо выборкеобъемавычислены оценкинеизвестных параметров. Найти доверительный интервал для математического ожиданияотвечающий доверительной вероятности

Задача 95. Определить минимальный объём испытаний, которые нужно провести, чтобы с надежностью точность оценки генерального среднего времени обработки зубчатого колеса былас. Время обработки – нормальная случайная величина сс.

Задача 96. Импортер упаковывает чай в пакеты номинальным весом 125 г. Известно, что наполняющая машина работает со стандартным отклонением г. Выборка изпакетов показала средний вес 125,8г. Найти доверительный интервал для среднего веса в генеральной совокупности, с вероятностьюГенеральная совокупность распределена нормально. Найти объём выборки, чтобы с вероятностьюточность интервала была равнойг.

Задача 97. В результате опытов получена несмещенная оценкадля дисперсии нормальной случайной величины. Найти доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности.

Задача 98. В серии из выстрелов по мишени наблюдалосьпопаданий. Найти доверительный интервал для вероятностипопадания в мишень при доверительной вероятности

Задача 99. Фирма разослала новых рекламных каталогов и получилазаказов. Построить доверительный интервал для эффективности рекламы (вероятности отклика) с надежностью.

Задача 100. Из деталей обнаруженобракованных. Найти доверительный интервал доли бракованных деталей во всей партии с доверительной вероятностьюКакой минимальный объём выборки следует взять, чтобы доля бракованных деталей во всей партии не отличалась от частотыболее чем на

Задача 101. По результатам замеров, установлено, что среднее время изготовления деталис. Предполагая, что время изготовления есть нормальная случайная величина сс, необходимо:

1) проверить на уровне значимости гипотезу:против альтернативной гипотезы:;

2) вычислить мощность критерия и вероятность ошибки второго рода;

3) какой минимальный объём выборки нужно взять, чтобы

4) проверить на уровне значимости гипотезу:против альтернативной гипотезы:.

Задача 102. По данным рейсов установлено, что в среднем машина затрачивает на поездку до хлебоприемного пунктамин. Допустив, что время поездки есть нормальная случайная величина на уровнях значимостии, проверить гипотезу:мин.; при альтернативной гипотезе:мин.

1) если известно, что мин.;

2) если выборочное среднее квадратичное отклонение мин.;

3) для условия 1) вычислить мощность критерия и вероятность ошибки второго рода. Какой минимальный объём выборки нужно взять, чтобы

Задача 103. Утверждается, что применение пищевой добавки, разрушающей жировой слой, позволяет за два месяца снизить вес на килограмм. В результате обследованиячеловека, принимавших этот препарат, в среднем вес снизился накилограмм за два месяца,Проверить добросовестность рекламы на уровне значимости.

Задача 104. Техническая норма предусматривает в среднем с. на выполнение определённой технической операции на конвейере. От работниц, работающих на этой операции, поступили жалобы, что они в действительности затрачивают на эту операцию больше времени. Для проверки жалобы произведены хронометрические измерения времени выполнения этой операции уработниц, занятых на этой операции, и получены следующие результаты:с.,с. Можно ли по имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости 0,01 отклонить гипотезу о том, что действительное среднее время исполнения этой технической операции соответствует норме?

Задача 105. Из продукции двух автоматических линий, обрабатывающих корпуса вентилей одного типоразмера, взяты выборки объемов и.

По результатам выборочных наблюдений найдено, мм,мм. Предварительно установлено, что погрешности изготовления есть нормальные случайные величины с дисперсиями,. Требуется на уровне значимостипроверить гипотезу:

1) при альтернативной гипотезе :;

2) при альтернативной гипотезе :.

Задача 106. Студенты двух вузов сдавали экзамены по высшей математике. В вузе А, где экзаменовались студентов, средняя оценка оказалась равной 54 балла, во втором вузе В экзаменовалисьстудентов и их средняя оценка оказалась равной 49 баллов (по 100 бальной шкале). Стандартное отклонение оценок на экзаменах по высшей математике, вычисленное для нескольких тысяч студентов, равноМожно ли на уровне значимостиутверждать, что вуз А даёт лучшую подготовку по высшей математике, чем вуз В?

Задача 107. На двух станках производят одну и ту же продукцию, контролируемую по наружному диаметру изделия. Из продукции первого станка была взята выборка из изделий, а из продукции второго станка изизделий.

1)Проверить гипотезу против альтернативной гипотезына уровне значимости

2)На уровне значимости проверить, требует ли какой-нибудь из станков подналадки, если

Задача 108. Для сравнения двух марок стали А и В с точки зрения их передела текучести проверяется проб стали марки А ипроб стали марки В. По обеим выборкам получены статистические характеристики: для марки А –кГ/,

кГ/для марки В ‒кГ/,

кГ/Проверить гипотезупротив альтернативной гипотезына уровне значимостиОпределить на уровне значимости, обладает ли сталь марки А более высоким переделом текучести, чем сталь марки В, то есть проверить гипотезупротив альтернативной гипотезы>

Задача 109. Производитель некоторого вида продукции утверждает, что выпускаемой продукции не имеет дефектов. Случайная выборкаизделий показала, чтоиз них не имеют дефектов. На уровне значимостипроверить справедливость утверждения производителя продукции.

Задача 110. Два предприятия изготавливают однотипные детали. Для оценки их качества взяты выборки из продукции этих предприятий и получены следующие результаты: первое предприятие – объём выборки число бракованных деталейвторое предприятие – объём выборкичисло бракованных деталейОпределить на уровне значимостиимеется ли существенное различие в качестве деталей, изготавливаемых этими предприятиями?

Задача 111. Новое лекарство, применяемое для лечения атеросклероза, должно пройти экспериментальную проверку для выяснения возможных побочных эффектов. В ходе эксперимента мужчин иженщин принимал лекарство. Выяснилось, чтомужчин иженщин испытывали побочные эффекты. Можно ли на уровне значимостиутверждать, что у женщин побочные эффекты проявляются в большей степени, чем у мужчин?

Исходные данные к задачам №2 – 5

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
	1	1	1	1	2	2	2	2	3	3	3	3	4	4	4
	3	4	5	6	4	5	6	7	5	6	7	8	6	7	8