4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Условной вероятностью события при условии, что произошло событие , называется число ;.

Из этого определения вытекает формула умножения вероятностей

для двух событий, которая допускает обобщение для событий:

.

События и называются независимыми, если или.

Для любых событий и имеет место формула

.

Если события и несовместны, Ø (где Ø – невозможное событие), то

.

При решении большинства задач теоремы сложения и умножения вероятностей используются вместе. При этом методика решения задач состоит в следующем. Событие, вероятность которого требуется найти, выражается через более простые события, вероятности которых известны или могут быть найдены; затем от равенства событий переходят к равенству вероятностей этих событий и, используя теоремы сложения и умножения вероятностей, переходят к умножению, сложению вероятностей этих, более простых событий, то есть чисел.

В тех случаях, когда событие, вероятность которого требуется найти, громоздко выражается через простые события, удобнее переходить к противоположному событию, находить его вероятность, а затем, используя формулу , получать требуемый результат.

Пример 1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; для второго сигнализатора эта вероятность равна 0,9. Какова вероятность того, что при аварии сработает хотя бы один сигнализатор?

Решение. Введем в рассмотрение события:

–событие, состоящее в том, что при аварии сработает первый сигнализатор;

–событие, состоящее в том, что при аварии сработает второй сигнализатор;

–событие, состоящее в том, что при аварии сработает хотя бы один сигнализатор.

Тогда . Перейдем от равенства событий к равенству вероятностей этих событий. Событияинезависимые (по условию задачи сигнализаторы работают независимо).

Следовательно,  

и .

Пример 2. По каналу связи передаётся сообщение из трех символов. Из-за помех символы независимо друг от друга могут искажаться. Вероятности, искажения символов при передаче сообщения соответственно равны 0,01, 0,005, 0,003. Сообщение считается принятым, если не искажено ни одного символа. Какова вероятность того, что сообщение не будет принято?

Решение. Введем в рассмотрение события , состоящие в том, что при передаче будут искажены первый, второй и третий символы соответственно и событие , состоящее в том, что сообщение не будет принято.

Тогда ++++++

.

По условию задачи случайные события независимы. Значит, событиятакже независимы. Очевидно, что находить вероятность событияпроще, чем вероятность события, поэтому

()=1–.

Пример 3. В некоторой системе есть узел, вероятность безотказной работы которого в течение времени Т равна p. Для повышения надежности работы всей системы узел можно дублировать так, что система будет работать, если работает хотя бы один узел.

Сколько раз нужно продублировать узел, чтобы вероятность безотказной работы блока, состоящего из этих узлов, была больше заданной величины Р.

Решение. Пусть задано n одинаковых узлов, соединенных параллельно.

Рассмотрим случайное событие А – данный блок из n узлов работает. Нужно подсчитать вероятность события А и найти n из неравенства

(1)

Обозначим через А_i – случайное событие «i-й узел работает в течение времени Т».

Тогда Р(А_i)=р, А=∑ А_i , Ā=∏Ā_i . Так как события независимы, то событиятакже независимы. Следовательно,

Р(Ā)=∏Р(Ā _i)=∏(1-р)=(1-р)ⁿ; Р(А)=1-Р(Ā).

Подставляя полученные значения в (1), получим:

Р(А)=1-(1-р)ⁿ>Р

(1-р)ⁿ <1-P; n ln (1-p)< ln(1-P);

.

Пусть р=0,8, Р=0,998. Тогда n>3,86, n=4.