3. Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение обобщает классическое определение вероятности на случай, когда пространство элементарных событий представляет собой подмножество пространства.

При этом на прямой будем рассматривать лишь промежутки или их объединения, то есть подмножества, которые имеют длину, на плоскости – те подмножества, которые имеют площадь и т.д.

Под мерой множествабудем понимать его длину, площадь или объем, в зависимости от того, к какому пространству принадлежитили. Будем считать, что, и вероятность попадания случайно брошенной точки в любое подмножествопропорционально мере этого подмножества и не зависит от его расположения и формы.

В этом случае вероятность считается по формуле:

.

Пример 1. Телефонная линия длиной 2 км, соединяющая пункты и, порвалась в неизвестном месте. Считая обрыв равновозможным в любой точке линии, найти вероятность того, что обрыв находится не далее чем 450 м от пункта.

Решение. Точка – место обрыва линии может с одинаковой вероятностью занимать любое положение на отрезке длиной 2000 м. Следовательно, множествонепрерывно и его мера равна 2000. Событие, состоящее в том, что обрыв произошел на расстоянии не более 450 от пункта, состоит из точек отрезка длиной 450 м. Следовательно,и

.

Пример 2. В эллипс с полуосями 2 и 3 наудачу ставится точка. Какова вероятность того, что она попадет во вписанную в эллипс окружность, центр которой совпадает с центром эллипса?

Решение. Точка может с одинаковой вероятностью занимать любое положение в области, ограниченной эллипсом. Следовательно, множествоможет быть записано в виде.. Событие, состоящее в том, что точка попадет в круг, вписанный в эллипс, состоит из точек множества, для которых выполняется условие.. Следовательно,

Пример 3. Две точки независимо друг от друга наудачу выбираются на отрезке . Найти вероятность того, что произведение координат точек будет больше 0,4.

1. Определяем пространство элементарных событий. Пусть икоординаты первой и второй точек, выбранных на. Тогда каждый элементарный исход представляется упорядоченной паройвещественных чисел. Каждой такой паре соответствует точка квадратана плоскостиXOY. Наоборот, каждой точке квадратаD соответствуют две точки на отрезке , имеющие координатыи, то есть некоторый исход случайного эксперимента.

Итак, пространство элементарных событий совпадает с квадратом D. Выбрать две точки отрезка это то же самое, что выбирать одну точку квадратаD.

2. Равновозможность элементарных исходов гарантирована методикой проведения случайного эксперимента, поскольку, как сказано в условии задачи, обе точки выбираются на отрезке наудачу. Соответственно, ни один из участков квадрата D не является более предпочтительным, чем любой другой равный ему по площади участок квадрата D.

3. Нас интересует вероятность события .

Ему соответствует область (см. рис.1).

Рис. 1

Находим площадь области. Очевидно, что.

Находим площадь области. Имеем

.

Согласно геометрическому определению вероятности

.

Ответ. .

Пример 4. Для поражения точечной воздушной цели достаточно разрыва снаряда на расстоянии 10 м от неё. Из-за ошибок прицеливания разрыв снаряда равновозможен в любой точке эллипсоида с центром в точки цели и полуосями 20, 20 и 60 м. Какова вероятность того, что цель будет поражена?

Решение. Точка может с одинаковой вероятностью занимать любое положение в области, ограниченной эллипсоидом. Следовательно, множествоможет быть записано в виде..

Событие , состоящее в том, что точка попадет в сферу радиуса 10 и состоит из точек множества, для которых выполняется условие..

Следовательно, .