doc2

Уравнение (44.2) является основным уравнением теории удара и в этом случае имеет такое же значение, как и основной закон динамики та = F при изучении движения материальной точки под действием неударных сил.

Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе. Для к-й точки имеем

где Skya,Skya — ударные импульсы соответственно внешних и внутренних сил.

Для механической системы, просуммировав и уравнений (44.3) и учитывая, что по свойству внутренних сил, в том числе и ударных, Х^/уд = получим

т.е. изменение количества движения системы за время удара равно векторной сумме внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы.

В проекциях на оси декартовых координат

К* ~ Кох =

Ку - К0у = Х ^ Л

Если 5/Уд = 0, то, как следует из уравнения (44.4), количество движения системы за время удара не изменяется.

Теорема о движении центра масс системы при ударе. Выразим количество движения системы через скорость центра масс:

Тогда с учетом выражений (44.6) уравнение (44.4) примет вид

и скорость центра масс не изменяются, если векторная сумма внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы, равна нулю.

2. Если т о исх = vc*> т -е - проекция количества движения системы и скорости центра масс на ось х не изменяются, если сумма проекций внешних ударных импульсов на эту ось, приложенных к точкам системы, равна нулю.

Теорема об изменении кинетического момента системы при ударе.

Сначала рассмотрим изменение кинетического момента системы при ударе относительно некоторого центра.

Умножим векторное равенство (44.2) на радиус-вектор Т, который будет одним и тем же до и после удара. Получим

Это соотношение является выражением теоремы об изменении момента количества движения материальной точки относительно некоторого центра О при ударе.

Применив аналогичные действия к каждой к-\л точке системы

сумма моментов внешних ударных импульсов относительно центра О.

Следует заметить, что геометрическая сумма моментов внутренних ударных импульсов по свойству внутренних сил равна нулю.

Таким образом, изменение кинетического момента механической системы относительно некоторого центра за время удара равно гео-

512 X. Динамика материальной системы

метрической сумме моментов внешних ударных импульсов относительно того же центра.

Рассмотрим изменение кинетического момента системы при ударе относительно оси.

Спроецируем векторное равенство (44.10) на оси декартовых координат и получим

(44.11)

Если удар испытывает твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси, например оси z, то

4 = 4®.

4 я = 4<ао.

где Iz — момент инерции тела относительно оси z\ со, соо — соответственно угловая скорость вращения тела после и до удара.

Тогда последнее из равенств (44.11) примет вид

или

В равенство (44.12) не входят моменты ударных импульсов реакций опор, так как они пересекают ось, а ударными импульсами сил трения в опорах пренебрегаем.

Следствия из теоремы:

1. Если X M0{Skya) = 0, то из равенства (44.10) следует закон сохранения кинетического момента относительно центра при ударе:

закон сохранения кинетического момента относительно оси при ударе:

4 = const. (44.13')

Рассмотрим удар точки о неподвижную поверхность. Возможны два случая — прямой удар и косой удар.

Удар называют прямым, если скорость точки v перед ударом направлена по нормали к поверхности в точке удара. После удара материальная точка отделится от поверхности в общем случае с некоторой скоростью U, направленной тоже по нормали к поверхности.

Отношение числового значения скорости после удара U к числовому значению скорости до удара v называется коэффициентом восстановления при ударе:

Если к - 1, то удар называют абсолютно упругим; если к = 0, то удар считают абсолютно неупругим. При 0 < к < 1 удар называют частично упругим.

Если тело падает с высоты Н, а после удара поднимается на высоту h, то

Удар называется косым, если скорость точки перед ударом направлена под некоторым углом а к нормали поверхности. Угол а называется углом падения. В общем случае скорость точки после удара составляет с нормалью некоторый угол (3, называемый углом отражения. При косом ударе

При соударении двух движущихся тел (например, шаров) удар называют прямым и центральным, если общая нормаль к поверхности тел в точке их касания проходит через центры масс, а скорости центров масс в начале удара направлены по этой нормали, называемой линией удара.

Обозначим массу ударяющего тела ти а массу ударяемого тела — т2, скорости их центров масс в начале удара равны соответственно v, и v2, а в конце удара — щ и и2 и направлены по линии удара. Для того чтобы удар произошел, до удара должно выполняться неравенство v, >v2,

а после удара — и2 tuv , так как ударяющее тело не может опередить ударяемое.

В этом случае

Если рассматривать соударяющиеся тела как одну систему, тогда ударные импульсы будут внутренними, а так как

то количество движения до и после удара не изменяется, т.е.

Решая совместно уравнения (44.17) и (44.18), получим формулы для определения скорости тел после удара:

В случае абсолютно упругого удара (к = 1) формулы (44.19) имеют

При абсолютно неупругом ударе (к = 0) скорости их и и2 будут равны. Тогда из равенства (44.18) или из формул (44.19) следует, что

(44.21)

тх +т2

Из формул (44.20) при т { = т 2 получим, что м, = v2, u2 - vx, т.е. при абсолютно упругом ударе тела обмениваются скоростями.

Если второй шар будет двигаться до удара со скоростью v2 навстречу первому шару, то в формулах (44.19)—(44.21) скорость v2 следует

рассматривать как проекцию на ось, направленную в сторону движения первого шара, и брать со знаком минус.

Теорема об изменении кинетической энергии при ударе двух тел. При упругом ударе двух тел (0 < к < 1) происходит потеря кинетической энергии:

Формула (44.24) — это математическое выражение теоремы Карно, которая может быть сформулирована следующим образом:

кинетическая энергия, потерянная системой двух тел при абсолютно неупругом ударе, равна той кинетической энергии, которую имела бы система, если бы ее тела двигались с потерянными скоростями.

Потерянными скоростями называют разности скоростей соуда-

почти полностью теряется кинетическая энергия, которая затрачивается на деформацию соударяющихся тел (ковка металла, клепка и т.п.).

Центр удара — это точка тела, через которую проходит ударный импульс, не вызывающий ударных реакций в опорах. Если ударный импульс приложить к телу, вращающемуся в некоторых опорах вокруг неподвижной оси, то в этих опорах могут возникнуть ударные реакции. Однако возможно такое условие, при котором ударные реакции будут равны нулю. На практике это имеет весьма важное значение; появление при ударе импульсных реакций нежелательно, так как может привести к поломке частей конструкции.

Чтобы при ударе по телу, закрепленному на оси z, в опорах не возникали ударные реакции, необходимо выполнение следующих условий:

•ударный импульс должен располагаться в плоскости Оху, перпендикулярной оси z и проходящей через точку О тела, для которой ось z является главной осью инерции;

•удар должен быть направлен перпендикулярно плоскости, про-

ходящей через ось вращения z и центр масс С тела;

• ударный импульс необходимо приложить к телу с той стороны

где 1г — момент инерции тела относительно оси вращения; М — масса тела; d — расстояние от оси вращения до центра масс тела.

Формула (44.26) совпадает с формулой приведенной длины /Пр физического маятника при качании его вокруг горизонтальной оси z', точка маятника, отстоящая от оси привеса на расстояние /пр, называется центром качаний физического маятника. Поэтому центр удара совпадает с центром качаний физического маятника.

Последовательность решения задач этого параграфа:

1.Показать на рисунке соударяющиеся тела, направление векторов их скоростей до и после удара.

2.Показать оси(ось), использование которых при решении задач обязательно.

3.В зависимости от вида движения тел, особенностей удара и конечного результата применить соответствующие теоремы, т.е. воспользоваться формулами (44.2), (44.4), (44.5), (44.7), (44.8), (44.10)-(44.12)

и(44.22)-(44.24), или следствия из теорем. При определении коэффициента восстановления при ударе, скорости тел после удара, положения центра удара лучше использовать формулы (44.14)—(44.17), (44.19), (44.20) и (44.26).

4.При решении задач, в которых рассматривается косой удар, векторы скоростей соударяющихся тел нужно разложить на составляющие по направлению общей нормали и общей касательной в точке касания, изучить характер изменения этих составляющих и определить их величину после удара.

5.Искомые величины выразить в общем виде, а затем вычислить их значения с учетом числовых данных.

Задачи и решения

Задача 44.1

Баба А ударного копра падает с высоты 4,905 м и ударяет наковальню В, укрепленную на пружине. Масса бабы 10 кг, масса наковальни 5 кг. Определить, с какой скоростью начнется движение наковальни после удара, если баба будет двигаться вместе с ней.

Замечание. В условии задачи следовало бы более корректно поставить вопрос: найти максимальную величину сжатия пружины.

Задача 44.3

В приборе для опытного определения коэффициента восстановления шарик из испытуемого материала падает без начальной скорости внутри вертикальной прозрачной трубки с заданной высоты Л, = 50 см на неподвижно закрепленную горизонтальную пластинку