Эта формула носит название формулы бинома Ньютона. При n =1 она тривиальна, а при n = 2 и n = 3 – хорошо известна. В общем случае справедливость формулы бинома Ньютона легко доказывается по индукции с применением
вышеотмеченных свойств чисел Cmn , которые часто называют также биномиальными
коэффициентами.
Для изучения свойств числовых последовательностей часто применяются так
называемые производящие функции. |
|
|
|
||
Если (am ) |
(m = 0, 1, ..., n) данная комбинаторная последовательность чисел, |
то |
|||
|
|
|
n |
|
|
производящей функцией, называется функция вида f (x) = ∑amϕm (x) , где |
ϕm (x) |
– |
|||
некоторые функции. |
|
m=0 |
|
|
|
|
Cnm рассмотрим производящую функцию |
||||
Например, |
для исследования чисел |
||||
n |
|
|
n |
|
|
f (x) = ∑Cnm xm . Согласно формуле бинома Ньютона ∑Cnm xm = (1 + x)n . Отсюда при |
|||||
m=0 |
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
x =1 получим |
тождество: |
C0n + C1n + Cn2 + ... + Cnn−1 + Cnn = ∑Cnm = 2n ; |
положив |
||
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
x = −1, получим другое |
тождество: |
C0n − C1n + Cn2 −C3n + ... = ∑(-1)m Cnm = 0 . |
|||
m=0
Интересные тождества можно получить для Cmn такими же подстановками, предварительно проинтегрировав или продифференцировав производящую функцию.
6. |
Числа Стирлинга |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
Разбиением множества |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
X называется такое представление |
X = UX i , что |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
Xi IX j |
= i ≠ j . Число |
разбиений n-элементного множества |
на m блоков |
||||||||||||||||||||||||||||
называется числом Стирлинга второго рода и обозначается Snm . По определению
Sn0 = 0 при n > 0 ; S00 =1; Snm = 0 при m > n ; Snn =1.
Теорема. Snm = Snm−−11 + m Snm−1 .
Доказательство. Пусть X – множество всех разбиений множества {1, 2,..., n}. Обозначим через X1 множество таких разбиений, которые содержат {n} в качестве отдельного блока, а через X2 – множество всех остальных разбиений. Тогда X=X1 X2
и X1∩ X2= . Легко видеть, что мощность множества X1 равна Snm−−11 . (один блок
разбиения {n} в данном случае задан и остается распределить n-1 элементов на m-1 блоков). Далее, все разбиения множества X2 можно получить из разбиений множества
{1, 2,..., n −1} на m блоков (число которых равно Snm−1 ), добавляя элемент n в какой-то
из блоков (имеется ровно m способов, как это сделать. Так что множество X2 состоит из m Snm−1 .разбиений. В результате, Snm = Snm−−11 + m Snm−1 .
На основании полученной рекурентной формулы можно построить таблицу (аналогичную треугольнику Паскаля) для вычисления чисел Стирлинга второго рода.
24