В справедливости этих законов легко убедиться с помощью диаграмм ЭйлераВенна, изобразив отдельно множества, соответствующие левой и правой части равенства, и проверив, что они совпадают.

Например, для иллюстрации закона 7) имеем диаграммы, приведенные на рис. 1.2.

Строгое доказательство всех равенств основано на проверке включений и . Например, для доказательства закона 9) нужно проверить:

9а) A B A ∩ B ;

9б) A ∩ B A B .

Доказательство 9а). Пусть x A B . Тогда x A B . Значит, x A и x B , то есть x A и x B , и поэтому x A ∩ B .

Доказательство 9б). Пусть x A ∩ B . Тогда x A и x B . Следовательно, x A и x B . Поэтому x A B и, значит, x A B .

Определение. Совокупность Ω(U ) всех подмножеств универсального множества U (такая совокупность называется булеаном множества U) вместе с

операциями , ∩, и , обладающими вышеперечисленными свойствами, называется

булевой алгеброй множеств.

Заметим, что в результате операций , ∩, и над любыми подмножествами из U также получаются подмножества из U. В этом случае говорят, что указанные операции замкнуты на U.

Можно показать, что множество соотношений 1) – 15) полно в том смысле, что

любое правильное равенство, образованное при помощи символов , U, , ∩, , букв латинского алфавита, обозначающих множества, и скобок, указывающих порядок выполнения операций, вытекает из свойств 1) – 15).

5. Декартово произведение множеств

Пусть имеется два множества A и B (не обязательно А ≠ B ).

Определение. Декартовым (или прямым) произведением множеств A и B

называется множество всех упорядоченных пар вида (a, b), где первый элемент a A, а второй — b B :

A × B = {(a, b) | a A , b B} .

9