СОДЕРЖАНИЕ

I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.......................................................................................

5

§ 1. Множества и операции над ними..................................................................................

5

1.

Основные понятия....................................................................................................

5

2.

Способы задания множеств.....................................................................................

6

3.

Операции над множествами ....................................................................................

7

4.

Свойства операций над множествами. Алгебра множеств...................................

8

5.

Декартово произведение множеств.........................................................................

9

§ 2. Отображения множеств...............................................................................................

10

1.

Основные понятия..................................................................................................

10

2.

Произведение (композиция) отображений...........................................................

12

3.

Обратные отображения..........................................................................................

13

§ 3. Отношения....................................................................................................................

13

1.

Основные понятия и способы задания отношений.............................................

13

2.

Операции над бинарными отношениями и их свойства.....................................

15

§ 4. Отношения экивалентности ........................................................................................

17

1.

Классы эквивалентности........................................................................................

17

2.

Отношения частичного порядка............................................................................

18

§ 5. Комбинаторика.............................................................................................................

20

1.

Размещения..............................................................................................................

20

2.

Перестановки...........................................................................................................

21

3.

Сочетания................................................................................................................

22

4.

Сочетания с повторениями....................................................................................

23

5.

Бином Ньютона. Понятие о производящей функции..........................................

23

6.

Числа Стирлинга.....................................................................................................

24

7.

Число Белла.............................................................................................................

25

§ 6. Мощности множеств....................................................................................................

25

1.

Мощность конечного множества..........................................................................

25

2.

Мощности бесконечных множеств. Счетные множества...................................

26

3.

Несчетные множества. Мощность континуума...................................................

27

4.

Кардинальные числа. Гипотеза континуума........................................................

28

II. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ.....................................................................................

29

§ 7. Основные определения и типы графов ......................................................................

29

1.

Основные понятия..................................................................................................

29

2.

Основные типы графов...........................................................................................

29

3.

Обобщения понятия графа.....................................................................................

30

4.

Изоморфные графы.................................................................................................

31

5.

Количество различных графов порядка n ...........................................................

33

§ 8. Основные числовые характеристики и матрицы графа............................................

34

1.

Степени вершин графа...........................................................................................

34

2.

Матрица смежности................................................................................................

35

3.

Матрица Кирхгофа .................................................................................................

36

4.

Матрица инцидентности........................................................................................

36

§ 9. Подграфы и операции на графах.................................................................................

37

1.

Подграфы.................................................................................................................

37

2.

Операции над графами...........................................................................................

37

§ 10. Связные графы и расстояние в графах.....................................................................

39

1.

Маршруты в графах. Связные графы....................................................................

39

2.

Компоненты связности. Связность графа и его дополнения..............................

40

3.

Расстояния на графах .............................................................................................

40

4.

Метод поиска в ширину.........................................................................................

41

матрице смежности..........................................................................................................

42

§ 11. Деревья и остовы........................................................................................................

42

1.

Критерии дерева......................................................................................................

42

2.

Корневое дерево......................................................................................................

44

3.

Типы вершин дерева, радиус и центры ................................................................

45

4.

Остовы графа, циклический ранг и ранг разрезов...............................................

45

5.

Задача о минимальном остове...............................................................................

46

разрезов.............................................................................................................................

47

7.

Линейное пространство графа...............................................................................

48

§ 12. Эйлеровы и гамильтоновы графы.............................................................................

49

1.

Эйлеровы графы......................................................................................................

49

2.

Гамильтоновы графы..............................................................................................

50

§ 13. Планарные графы.......................................................................................................

51

1.

Вложимость графов в трехмерное пространство ................................................

51

2.

Планарные графы. Формула Эйлера.....................................................................

52

3.

Следствия из формулы Эйлера..............................................................................

52

4.

Гомеоморфные графы. Критерий планарности...................................................

54

§ 14. Раскраски графов........................................................................................................

55

1.

Хроматическое число графа..................................................................................

55

2.

Хроматическое число 2–дольного графа. Критерий 2-дольности.....................

56

3.

Некоторые оценки хроматического числа ...........................................................

56

4.

Раскраски планарных графов.................................................................................

57

5.

Реберная раскраска графа......................................................................................

57

§ 15. Паросочетания............................................................................................................

58

1.

Паросочетания.........................................................................................................

58

2.

Теорема Холла о свадьбах.....................................................................................

59

§ 16. Сети..............................................................................................................................

59

1.

Основные понятия..................................................................................................

59

2.

Потоки в сетях.........................................................................................................

60

3.

Сетевое планирование............................................................................................

62

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ГРАФЫ»............................................................................................

64

Задание .................................................................................................................................

64

Варианты индивидуальных заданий..................................................................................

64

ЛИТЕРАТУРА ........................................................................................................................

70