ϕ = f −1 .

Теорема4 (критерийобратимостиотображения).

Отображение f : X →Y обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно. Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X →Y биективно. Так

как оно сюръективно, то y0 Y есть хотя бы один прообраз из Х. Но в силу

инъективности все элементы имеют разные образы. Поэтому y0 имеет единственный прообраз х0. Сопоставив каждому элементу y из Y его единственный прообраз, получим отображение ϕ: Y → X такое, что если y = f (x), то ϕ(y)= x . При этом получим х Х

ϕ f (x)=ϕ(f (x))=ϕ(y)= x , т.е. ϕ f = eX ; y Y f ϕ(y)= f (ϕ(y))= f (x)= y , т.е. f ϕ = eY .

Достаточность. Пусть отображение f : X → Y – обратимое и ϕ: Y → X –

образом, ƒ – инъективно.

Пусть y0 Y . Найдём прообраз х0, такой, что y0 = f (x0 ). Имеем: y0 = eY (y0 )= (f ϕ)(y0 )= f (ϕ(y0 ))= f (x0 ),

где x0 = ϕ(y0 ). Тем самым, ƒ – сюръективно.

Следствие. Если ƒ – биективно, то и ƒ-1 также биективно.

§3. Отношения

1.Основные понятия и способы задания отношений

Вразличных научных и других сферах деятельности человека для описания связей между предметами используется понятие отношения. Например, отношение “меньше – больше” на множестве действительных чисел; отношение делимости на множестве целых чисел; отношение подобия на множестве треугольников; отношения параллельности и перпендикулярности на множестве прямых и плоскостей; отношения

13

родства, дружбы, знакомства на множестве людей; отношение “начальникподчиненный” на предприятии и др. В математике понятие отношения, как и большинство понятий, имеет строгое определение.

Определение. Бинарным отношением R на множествах A и B называется всякое подмножествоR A×B .

Если элементы a A и b B находятся в отношении R, т. е. (a,b) R , то пишут: aRb . Например, a < b (для отношения “меньше – больше” на множестве действительных чисел), aMb (a делится на b, для отношения делимости на множестве целых чисел), A B (для отношения включения на множестве подмножеств некоторого универсального множества U), ABC ~ KLM (для отношения подобия на множестве треугольников) и т. д.

Если B = A , то отношение R A× A называется отношением на множестве А (вместо «отношение на множествах А и А»).

Отношение U=A×B, называется универсальным, или всюду истинным

отношением на A и B. Отношение R = называется пустым, или всюду ложным. Отношение I ={(a, a) | a A}называется тождественным отношением на множестве

A. Множество D(R) ={a A | b B, aRb} называются областью определения отношения R, а множество E(R) ={b B | a A, aRb} – областью значений отношения R. ( D(R) и E(R) иногда называют также проекциями R на A и B, соответственною.)

Два отношения R1 и R2 называются равными, если R1 и R2 равны, как множества. Если R1 R2 , то говорят, что "отношение R1 влечет отношение R2" (или "из

отношения R1 следует отношение R2").

Отношения на числовых множествах можно изобразить графически на

действительных чисел R соответствует полуплоскость (рис. 3.1). Отношению “=” на множестве действительных чисел R соответствует прямая (рис. 3.2).

R f на множествах А и В , положив aR f b , если f (a) = b для всех a A, b B . Если А

и В – числовые множества, то графической иллюстрацией такого отношения является обычный график функции y = f (x) (рис. 3.3).

Обратно, всякое отношение R A ×В называется функциональным, еслиa A существует единственный элемент b B , такой, что aRb .

14

Из рассмотренных выше примеров видно, что отношения (на числовых множествах) могут быть заданы графически в виде соответствующего множества точек на координатной плоскости.

Отношения на конечных множествах могут быть заданы непосредственным перечислением всех пар элементов данного отношении.

Например, пусть R – отношение делимости на множестве А = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

матрицу (выше диагонали все элементы – нули, а на диагонали и ниже – все элементы равны 1). Тождественное отношение I множестве А имеет единичную матрицу.

Аналогично бинарным определяются n-арные отношения на множествах A1 , A2 ,

соответствующее отношение R An называется n-местным отношением на множестве

действительных чисел R:

2) Четырехместное отношение R на множестве натуральных чисел N: пусть

(a, b, c, d ) R , если ab = dc .

2. Операции над бинарными отношениями и их свойства

Поскольку отношения определены как множества, то для них можно рассматривать все операции, действующие на множествах. При этом, разумеется, сохраняются все свойства этих операций.

Рассмотрим специальные операции на отношениях.

Пусть имеются отношения R1 A × B и R2 B ×C . Произведением отношений R1 и R2 называется отношение R1R2 A×C , такое, что a(R1R2 )b , тогда и только тогда, когда aR1b и bR2c для некоторого b B .

Понятно, что, вообще говоря, R1R2 ≠ R2 R1 даже, если оба произведения определены. Другими словами, произведение отношений не обладает свойством

15

коммутативности. Однако, нетрудно показать, что произведение отношений ассоциативно:

•( R1R2) R3 = R1 (R2R3).

Пусть R – отношение на множестве A. Степенью отношения R называется его

~

рефлексивным замыканием отношения R, если aRb по определению тогда и только

тогда, когда aR n b при некотором натуральном n.

Пусть R A×B. Отношение R-1 B × A , такое, что R-1={(b,a)| b B, a A, aRb },

называется обратным к отношению R.

Легко видеть, что справедливы свойства

•( R-1)-1 = R.

•( R1R2)-1 =R1-1R2-1.

Если R – отношение на множествах A и B, то RR−1 называется ядром отношения R. Ядро отношения R на множествах A и B является отношением на множестве A. Например, рассмотрим отношение R на булеане Ω(U ) некоторого универсального

множества U и множестве натуральных чисел N, определив для M U и n N , что M R n , если мощность множества M равна n. Тогда ядром этого отношения является

отношение равномощности на Ω(U ) .

Отметим также следующие свойства, наличие которых часто исследуется при изучении тех или иных отношений.

Определение. Бинарное отношение R на множестве А называется

– рефлексивным, если a A aRa , (у матрицы такого отношения все диагональные элементы равны 1);

–антирефлексивным, если a A (a, a) R ;

–симметричным, если a, b A из aRb следует bRa (матрица такого

отношения симметрична);

– антисимметричным, если a ≠ b A из (a, b) R следует (b, a) R (или,

что то же самое, если из aRb и bRa следует a = b );

– транзитивным, если a, b, c A из aRb и bRc следует aRc ;

– связным (или полным), если a ≠ b A имеет место aRb или bRa . Нетрудно показать, что справедлива

Теорема. Пусть R – бинарное отношение на множестве А. Тогда

16