Определение. Число ν(G) = m(G) − n(G) + k(G) ребер, которые необходимо

удалить из графа G для получения остова, называется циклическим рангом (или цикломатическим числом) графа G . Число ребер в остове графа G , которое в различных остовах одно и то же и равно n(G) − k(G) , называется рангом разрезов (или

коциклическим рангом) графа G .

Легко видеть, что справедливы следующие утверждения:

1.Граф G является лесом тогда и только тогда, когда ν(G) = 0 .

2.Граф G содержит единственный цикл тогда и только тога, когда ν(G) =1.

3.Граф, в котором число ребер не меньше, чем число вершин, обязательно содержит цикл.

Имеют место также следующие теоремы.

Теорема (Кирхгоф). Число остовов в связном графе G порядка n ≥ 2 равно алгебраическому дополнению любого элемента матрицы Кирхгофа K(G) графа G .

Теорема. Орграф сильно связен, если в нем существует остовной циклический

маршрут.

5. Задача о минимальном остове

Задача формулируется следующим образом: во взвешенном связном графе требуется найти остов минимального веса.

Данная задача имеет большое практическое значение: проектирование линий электропередачи, трубопроводов, сетей железных дорог и т.д.

Существуют достаточно простые алгоритмы решения этой задачи.

не входящих в Ti−1 и не составляющее циклов с ребрами подграфа Ti−1 .

Легко видеть, что граф Tn −1 является искомым остовом.

Аналогичную структуру имеет и следующий алгоритм.

Алгоритм Прима

1 шаг. Строим T1 = e1 — ребро графа G минимального веса. Далее, для i = 2, n −1.

2 шаг. Строим Ti = Ti−1 ei , где ei – ребро минимального веса, не входящее в Ti−1 и инцидентное ровно одной вершине подграфа Ti−1 .

Помимо задачи о минимальном остове рассматривается также задача о максимальном остове, которая формулируется и решается аналогично.

46

Согласно теореме о критериях дерева (пункт d) удаление любого ребра из остова

Tразбивает T на две компоненты связности. Пусть V1 – вершины одной компоненты,

аV2 – другой. Если добавить к такому ребру остова T другие ребра графа G , соединяющие вершины V1 с вершинами V2 , то получим некоторый разрез графа G .

Множество разрезов, полученных таким способом, называется фундаментальной системой разрезов графа G , ассоциированной с остовом T . Понятно, что количество разрезов в фундаментальной системе равно числу ребер в остове, которое совпадает с рангом разрезов графа G .

Для рассматриваемого графа G и его остова T , получаем фундаментальную

48