Помеченные графы G и H считаются совпадающими (изоморфными) при дополнительном условии, что E(G) = E(H).
На рис. 7.23 – 7.25 изображены три попарно неизоморфные помеченные графы (которые, очевидно, совпадают друг с другом, если убрать пометки).
Рис. 7.23 |
Рис. 7.24 |
Рис. 7.25 |
Для мульти-, псевдо- и ориентированных графов понятие изоморфности определяется аналогично, как биективность, при которой помимо смежности вершин и ребер сохраняются также кратность ребер, петли и направления дуг.
5. Количество различных графов порядка n
Лемма1. Число помеченных графов порядка n равно 2n(n - 1) / 2. Доказательство. Действительно, существует n(n-1)/2 пар вершин, для каждой из
которых имеется ровно 2 возможности: данная пара вершин соединена ребром или нет. Поэтому, когда вершины помечены, то можно построить ровно 2n(n-1)/2 различных (с учетом пометки) графов.
Для числа абстрактных (непомеченных) графов порядка n точной формулы не
существует. Однако, известно, что оно асимптотически стремится к величине |
2n(n−1) / 2 |
|
|
. |
|
n! |
||
Это означает, что при n→∞ предел отношения точного числа неизоморфных простых графов к указанной величине равен 1.
Этот факт представляется достаточно ясным, поскольку n непомеченных вершин графа можно пометить n! способами (количество пометок, очевидно, совпадает с числом перестановок из n элементов). Поэтому следует ожидать, что каждый непомеченный граф даст n! неизоморфных помеченных. Однако, это не всегда так. Например, все пометки пустого (а так же полного) графа приводят к одному и тому же помеченному графу. Никакие другие пометки графа на последнем рисунке не дадут новых помеченных графов. По этой причине в последнем случае из данного непомеченного получаем не 3! = 6, а только 3 помеченных графа. Таким образом, в случае непомеченных графов указанная величина представляет собой, не точную формулу, а лишь оценку.
33