Множества A и B предполагаются непустыми. В противном случае, если A =

координатной плоскости xОy (рис. 1.3).

Всякая кривая Г на плоскости может быть истолкована как подмножество R2, определяемое

называется упорядоченный набор (a1, a2, …, an), такой что ai Ai i =1, n . Множество

матричной структуры.

Таким образом, уже из данного примера следует, что ассоциативный закон для декартового произведения множеств не выполняется.

Но дистрибутивные законы относительно , ∩ и \ имеют место:

(A1 A2 )× B = (A1 × B) (A2 × B);

(A1 ∩ A2 )× B = (A1 × B)∩(A2 × B);

(A1 \ A2 )× B = (A1 × B)\ (A2 × B).

В любом случае, операция “×” существенно отличается от предшествующих операций на множествах в том плане, что декартово произведение множеств из данного универсального множества U уже не принадлежит U.

§2. Отображения множеств

1.Основные понятия

Пусть X и Y – непустые множества. Если каждому элементу х Х ставится в соответствие единственный элемент y Y, то говорят, что задано отображение

10

множества Х во множество Y.

Часто не делают различий между понятием “отображение” и “функция”, однако функциями чаще всего называют отображения числовых множеств.

Если ƒ – отображение множества Х в Y, то пишут: ƒ: Х→Y или Х f →Y. Элемент y Y, который ставится в соответствие элементу х Х при отображении

ƒ:Х→Y, называется образом элемента х при отображении ƒ. При этом пишут: y = f(x) или ƒ:х ay. Элемент х в свою очередь называется прообразом y при отображении ƒ.

Определение 1. Два отображения ƒ:Х→Y и g:X→Y называются равными, если f (x)= g(x) для любого х Х.

Определение 2. Пусть задано отображение ƒ:Х→Y и А Х . Образом

множества А при отображении ƒ называется совокупность образов всех элементов множества А. Образ A обозначается: ƒ(А).

выполнении этих условий ƒ: Х→Y является продолжением отображения f A : A →Y .

В случае, если Х и Y – конечные множества, то отображение ƒ:Х→Y может быть задано таблицей соответствий, состоящей из двух строк.

примере и определите их количество. Найдите количество различных отображений

Другие примеры отображений:

-поворот плоскости вокруг начала координат на угол α;

-проецирование 3-мерного пространства на координатную плоскость xОy;

-ƒ:R→R, ƒ(x) = sin x.

Определение 4. Отображение ƒ:Х→Y называется инъективным (взаимно однозначным), если различным элементам множества Х соответствуют различные

образы из Y, т.е., если x1 ≠ x2 f (x1 )≠ f (x2 ).

Легко видеть, что это условие равносильно следующему: f (x1 )= f (x2 ) x1 = x2 .

Например, подстановки, повороты плоскости – взаимно однозначные

11

Определение 5. Отображение ƒ:Х→Y называется сюръективным, если каждый элемент y Y является образом для некоторого элемента х X, т.е. если каждый элемент

2. Произведение (композиция) отображений

Пусть ƒ: Х→Y, g : Y → Z и пусть х Х. Отображение ƒ переводит х в некоторый элемент y Y . При этом элемент y под действием отображения g переходит в некоторый элемент z из Z. Таким образом, в результате последовательного выполнения

Например, пусть f (x)= sin x , g(x)= 2x . Тогда (fg)(x)= sin(2x ), (gf )(x)= 2sin x . Отметим, что не всегда gf и fg определены одновременно. Для этого необходимо, чтобы g(Y ) X . В частности, если f : X → X , g : X → X , то gf и fg

определены. Но даже в этом случае равенство fg = gf, вообще говоря, не выполняется (это видно из рассмотренного примера), Таким образом, умножение отображений не коммутативно. Однако оно ассоциативно.

Теорема 3. Пусть ƒ:Х→Y, g :Y →Z . Если ƒ и g инъективны, то fg – инъективно. Если ƒ и g сюръективны, то fg – сюръективно.

12