результатов данного раздела следует

Теорема 2.35. Любое конечное поле GF (q) элементов имеет конечную

У

характеристику p > 0 , является конечным расширением поля Z / pZ , содер-

жит q = pk элементов, при этом k – степень расширения [GF (q): Z / pZ ].

Т

Из теоремы Лагранжа о конечных группах следует, что все элементы

мультипликативной группы GF (q)* удовлетворяют уравнению xq−1 −1 = 0 .

Н

Теорема 2.36 (о существовании и единственности конечного поля).

Теорема 2.37. Пусть

F (pn ) и F (pk )

й

– конечные поля, расширения поля

Z / pZ = F (p), причем 1 < k < n . Поле F (pk )

являетсяБподполем F (pn )тогда и

и

только тогда, когда k делит n. Для каждого натурального делителя d числа n

существует и единственное подполе F (pn )

з pd элементов.

Теорема 2.38. Мультипликативная г уппа конечного поля – циклическая.

циклической.

Данная

теорема

Замечание 1.

является обобщением теоремы 2.6 о цик-

личности мультипликативн й группы ( Z / pZ )*.

т

Замечание 2.

Имеет мес следующеер

обобщение теоремы 2.38: любая

и

конечная подгруппа муль иплика ивн й группы P* каждого поля P является

з

пл ка ивные группы бесконечных полей не цик-

Замечание 3.

Муль

личны.

о

2. Липницкий, В.А. Современная прикладная алгебра. Математические основы

е

Литература

Мир, 1976.

7.

Боро, В. Живые числа. Пять экскурсий / В. Боро, Д. Цагир, Ю Рольфс [и др.]

– М.: Мир, 1985.

8.

Василенко, О.Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии / О.Н. Ва-

силенко. – М.: МЦНМО, 2003.

9.

Виноградов, И.М. Основы теории чисел / И.М. Виноградов. – М.: Наука,

1976.

У

10.

Каргополов, М.И. Основы теории групп / М.И. Каргополов, Ю.И. Мерзля-

ков. – М.: Наука, 1972.

Т

11.

Конопелько, В.К. Прикладная теория кодирования / В.К. Конопелько, В.А.

Липницкий [и др.] Т. 1-2. – Минск: БГУИР, 2004.

Н

12.

Коутинхо, С. Введение в теорию чисел. Алгоритм RSA / С. Коутинхо. – М.:

Постмаркет, 2001.

Б

13.

Ленг, С. Алгебра / С. Ленг. – М.: Мир, 1968.

14.

Лиддл, Р. Конечные поля / Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Т. 1-2. – М.: Мир, 1988.

15.

Мак-Вильямс, Ф.Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки / Ф.Дж. Мак-

Вильямс, Н.Дж.А. Слоэн. –М.: Связь, 1979.

й

16.

Мальцев, А.И. Алгебраические системы / А.И. Мальцев. – М.: Наука, 1970.

17.

и

Муттер, В.М. Основы помехоустойчивой телепередачи информации / В.М.

Муттер. – Л.: Энергоатомиздат, 1990.

18.

р

Ноден, П. Алгебраическая алгоритм ка / П. Ноден, К. Китте. – М.: Мир,

1999.

о

19.

Прасолов, В.В. Многочлены / В.В. П асолов. –М.: МЦМНО, 2000.

20.

Самсонов Б.Б. Теория инф мации и кодирование / Б.Б.Самсонов, Е.М.

т

Плохов, А.И. Филоненков, Т.В. Кречет. – Р-н/ Д.: Феникс, 2002.

21.

Серр, Ж.-П. Курс

ики / Ж.-П. Серр. – М.: Мир, 1972.

Харьков: ХГУ, 1954.арифме

22.

Соловьев, Ю.П. Элл п ческие кривые и современные алгоритмы теории

чисел / Ю.П. Соловьев, В.А. Садовничий, Е.Т. Шавгумидзе, В.В. Белокуров. –

М. – Ижевск: Инст тут компьютерных исследований, 2003.

23.

о

Сушкевич, А.К. Теор я ч сел. Элементарный курс / А.К. Сушкевич. –

24.

Черемушкинз, А.В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии

/ А.В. Черемушкин. – М.: МЦНМЩ, 2002.

е

25.

Харин Ю.С. Математические основы криптологии / Ю.С. Харин, В.И. Бер-

ник, Г.В. Матвеев. –Минск: БГУ, 1999.

Р

26.

Холлп, М. Теория групп / М. Холл. – М.: Ил, 1962.