GLn (R) – множество квадратных невырожденных матриц порядка n >1 с

вещественными коэффициентами относительно операции матричного умноже-

ния является неабелевой группой.

По количеству элементов группы делятся на конечные и бесконечные.

Определение 2.6. Порядком конечной группы называется количество

элементов этой группы. Если G – конечная группа, то

G

– ее порядок.

Пример 2.6. Группа (Z / nZ, ) является конечной

абелевой аддитивной

группой из n элементов; в силу теоремы 1.7.1 множество (Z / nZ )* обратимых

относительно умножения классов вычетов по модулю n, где n – натуральное

число, большее единицы, образует группу порядка ϕ(n).

У

2.2. Подгруппы

Т

Определение 2.7. Подгруппой в группе (G, ) называется всякое непустое

подмножество H элементов множества G, которое в свою очередь является

Н

группой относительно той же операции.

Б

Тот факт, что H есть подгруппа группы G отмечают так: H ≤ G или

H < G , есть включение H G – строгое.

Пример 2.7. Аддитивные группы целых, рациональных, вещественных и

Подмножество всех целых чисел, делящ хся на натуральное число n >1,

й

образует подгруппу в группе целых ч сел с операц ей сложения. Эту подгруп-

пу обозначают через (nZ, +). Следовательно,

место бесконечные цепочки

имеют

аддитивных подгрупп типа (Z, +)>(2Z, +)>(4Z, +)>….

Теорема 2.1 (кри ерий п

). Непустое подмножество H группы

(G, ) является подгруппой

дгруппы

гда и т лько тогда, когда для произвольных эле-

ментов a,b H имеет мес

оовключение a b−1 H .

Пример 2.8. В с лу кр

в любой группе G подмножество {e} из од-

терия

ного нейтрального элемента e этой группы является подгруппой.

Определение 2.8.иПодгруппа H группы G называется собственной, если

H ≠ G и H ≠ {e}.

з

Пример 2.9. С помощью критерия легко убедиться, что SLn (R) – под-

квадратных матриц порядка n с определителем, равным 1, образуют

о

подгру у в GLn (R). Действительно, для произвольных матриц A, B SLn (R)

по свойствампопределителей det(B−1 )=1 и det(AB−1 )= det A det(B−1 )=1. Следо-

ват льно, A, B−1 SL

(R) и согласно критерию 2.3.1 SL (R) является подгруп-

множество

n

n

пой в группе GLn (R).

Р

Доказательство

следует

из

критерия подгруппы:

для

произвольных

ak , a−e a

произведение ak a−e

= ak −e принадлежит, очевидно,

множеству

a .

Определение 2.9. Подгруппа

a из теоремы 2.2 называется циклической

подгруппой группы G, порожденной элементом a. Если в группе G найдется

такой элемент b, что G = b

, то такую группу называют циклической.

У

Пример 2.10. Следующие группы являются циклическими: (Z,+)= 1 ;

(Z / nZ,+)=

.

1

Н

для не-

Теорема 2.3. Пусть элемент a G обладает свойством:

an

= e

которого целого n и ak ≠ e для всех целых k, 1 ≤ k < n . Тогда циклическая под-

группа

a

имеет порядок n и

a = {a, a2 ,K, an = e}.

Т

Доказательство. Для целых k, 1 ≤ k < n, (ak )−1 = an−k .

Определение 2.10. Величина n из теоремы 2.3 называется порядком эле-

мента a G . Если же для элемента a

й

G такого n не существует, то гово-

рят, что элемент имеет бесконечный порядок.

Б

Пример 2.11. Любое ненулевое целое ч сло

меет бесконечный порядок

р

в аддитивной группе целых чисел.

1

1

1

2

Пример 2.12. Возьмем мат ицу A =

0

GL (R).

Здесь A2 =

0

1

;

1

2

1

3

и

A

3

=

0

; …. Степени ма рицы A п парно различны и образуют бесконеч-

1

о

1

−1

≠ 0 .

A

−1

ную последовательность. Определи ель матрицы A равен 1

=

,

з2

0

1

1

−2

т

A−2 =

о

, …. Так м образом, циклическая подгруппа, порожденная мат-

0

1

и

2

4

=

= группе

3 =

рицей A в

GL

(R), является бесконечной.

нотеореме 2.3 подгруппа

H

0

1

степени

есть конечная подгруппа порядка четыре.

Пример 2.13.

Матрица

H

GL

2

(R)

вида

H

=

имеет

−1 0

0 −1

1 0

−1 0

H

H

– единичная матрица. Соглас-

0

; H

1

01

;

0

1

= E

Р

−1

Теорема 2.4. Всякая циклическая группа – абелева.

Теорема 2.5. Всякая подгруппа циклической группы является цикличе-

ской.

q =

n

Q

n

2n

3n

подгруппа

q = 0;±

;±

;±

;K

не содержит рациональных

m

r

m

m

m

У

несократимых дробей

, r Z, s N

, у которых знаменатель

Т

s > m , следова-

тельно, q ≠ (Q,+).

s

Теорема 2.6. Для каждого простого числа p мультипликативная группа

Z / pZ * содержит p – 1 элементов и является циклической.

Б

Проблема нерешенная [16]: конечно или бесконечно множество про-

стых

чисел p, для

которых

Z / pZ* =

2

,

т.е. мультипликативная группа

Z / pZ * совпадает с циклической подгруппой, порожденнойНклассом вычетов

?

й

2

и

2.4. Смежные классы по подгруппе

Определение 2.11. Пусть H – собственная подгруппа группы (G, ).

Пусть a G . Через aH обозначим множество элементов {ah | h H}

и назо-

оронними

вем его левым смежным классом г уппы G по подгруппе H.

Если

существует

b G, b H aH ,

можно построить

новый

левый

т

смежный класс bH и так далее. Аналргично строят правые смежные классы. Ес-

и

ли каждый левый смежный класс с впадает с правым: aH = Ha , то тогда смеж-

ные классы называют двус

. Такими являются смежные классы в лю-

з

бой абелевой группе G. Смежные классы обладают рядом важных свойств, ко-

торые отражает

−1

по

Теорема 2.7. Пусть H – собственная подгруппа группы G. Тогда:

1) каждый элемент g G принадлежит какому-нибудь левому смежно-

п

подгруппе H;

му классу

2) два элемента a,b G

принадлежат одному левому смежному классу

е

b H ;

тогда и только тогда, когда a

Р

3) любые два левых смежных класса либо не пересекаются, либо совпа-

дают;

4) для всякого a G мощности множеств aH и H совпадают;

5) G есть объединение попарно непересекающихся левых (правых) смеж-

ных классов по подгруппе H.

Пример 2.14. Пусть G = M1×4 (Z / 2Z ) – множество всевозможных строк-

0 0)(, 1 0 1 1),(0

1),(1 1 1

H =

(0

0

1 0

0)

образует подгруппу в

14243 14243 14243 14243

0

e1

e2

e1 +e2

Смежные классы группы G по подгруппе H

№

Класс a + H

a +

0

a +

e1

a +

e2

a +(

e1

+

e2

)

(0101)

1

+ H = H

(0000)

(1011)

(1110)

0

(1101)

У

2

(1000)+ H

(1000)

(0011)

(0110)

(1001)

3

(0100)+ H

(0100)

(1111)

(1010)

Т

4

(0010)+ H

(0010)

(1001)

(0111)

(1100)

Н

Лемма 2.3. Пусть H – собственная подгруппа группы G. Мощности

множеств всех левых и соответственно правых смежных классов группы G по

подгруппе H равны.

й

Доказательство. Построим соответствие между названнымиБ

множествами

по правилу gH ↔ Hg . Очевидно,

ввести

такое соответствие является взаимно одно-

значным, что и доказывает лемму.

Доказанное утверждение позволяет

следующее

Определение 2.12. Индексом подг уппы H в группе G называется мощ-

ность множества всех смежных класс в г уппы G по данной подгруппе и обо-

значается через

G : H

.

р

Пример 2.15. Индекс п дгруппы (nZ, +) в группе (Z, +) равен n. Действи-

тельно, в данном случае множес

всех смежных классов есть множество

{nZ.1+nZ,2 +nZ,K, (n −1)

во

+nZ}.

Замечание.

т

Табл цы смежных классов играют важную роль в теории и

практике помехоустойч вого кодирования. Простейший метод коррекции оши-

и

бок базируется на снове таблиц смежных классов, аналогичных приведенной

выше. В с временныхзцифровых каналах связи принято информацию переда-

вать в виде дв ичных блоков с определенной фиксированной длиной n, то есть

n-

с координатами из Z / 2Z . Они получаются разбиением ис-

векторов

ходной информации, уже преобразованной в двоичный текст, на блоки по k

двоичныхпсимволов, k < n . К каждому k-мерному блоку присоединяется специ-

альным образом

n −k проверочных разрядов.

В результате предназначенные

для передачи слова принадлежат некоторому k-мерному подпространству H

мерных

всех n-мерных векторов. С точки зрения теории групп H –

пространства Vn

подгруппа аддитивной группы V . Ее называют группой кодовых слов. В про-

Р

n