приводимость многочлена над конечным полем определяется процедурой про-

сеивания, напоминающий решето Эратосфена для целых чисел – последова-

тельным делением на неприводимые (или все) меньшей степени от 1 до [n / 2].

В качестве примера приведем список всех неприводимых многочленов в кольце

(Z / 2Z )[x]

степени, меньшей шести.

У

1)

x;

2)

x+1;

Т

3)

x3+x+1;

4)

x2+x+1;

5)

x3+x2+1;

Н

6)

x4+x3+x2+1;x

7)

x4+x+1;

Б

8)

x4+x3+1;

9)

x5+x2+1;

10) x5+x3+1;

й

11)

x5+x3+x2+x+1;

12)

x5+x4+x2+x+1;

и

13)

x5+x4+x3+x+1;

14)

x5+x4+x3+x2+x+1;

р

Неприводимые многочлены играют роль простых чисел кольца целых чи-

сел. Следующая теорема аналогичнаотеореме 1.5.1.

Теорема 2.25. Всяк й многочлен

f (x)= a

xn + a

т

P[x] степени n ≥1 представим в виде

n

n−1

xn−1 +K+ a x + a

0

1

произведения f (x)= an p1

(x)p2

(x)Kps (x), где pi (x) – неприводимые многочле-

и

ны со старшим к эффициентом, равным 1. Такое представление единственно

с точностью

з

рядка сомножителей.

ется числом простым.

У

Пример 2.36. В поле P = Z / pZ , p – простое число, характеристика равна

Т

элементом, в частности, единицей – нейтральным элементом относительно ум-

ножения. Согласно теореме 2.3 о структуре циклических группН

Z / pZ = {1,1

+1 =

й

}. Это и означа-

+K+

=

2,K,1 + 1 +K+ 1 = p −1,1 + 1

1

0

ет, что char(Z / pZ )= P .

Б

Пример 2.37. Поля Q,R,C имеют характер ст ку 0.

р

′

Определение 2.30. Поле P называется подполем поля

P

, если все его

элементы принадлежат полю

P′.

поля

Теорема 2.27. Если подполе

Pимеетхарактеристику p, то и поле P

имеет ту же характеристику. Все п дполя поля P имеют ту же характери-

стику.

следует

Доказательство

из

единственности

нейтрального элемента в

из

группе и, следовательно,

единс венности единицы в любом поле.

Для нас привычны поля характеристики 0. С этой точки зрения арифме-

з

тика полей полож тельной характеристики весьма необычна.

го

Пусть P – произвольное поле положительной характери-

Теорема 2.28.

п

имеет место равенство: na = ra . В частности,

для кажд

элемента a P

при n = pq

р изведение na = pqa = 0 . Если p = 2, то при n = 2k произведение

е

произведение na = (2k +1)a = a .

na = 2qa = 0 , а ри n = 2k +1

нулю. Отсюда и вытекает утверждение теоремы.

РОбщеизвестна формула бинома Ньютона: (a +b)n = ∑n

Cnk an−k bk . В полях

Теорема 2.29. Пусть charP = p > 0 . Тогда для любых a,b P (a +b)p =

= a p +b p ;

(a −b)p = a p −b p ; а для каждого целого k ≥1 (a +b)pk

= a pk +b pk ;

(a −b)pk = a pk −b pk .

Доказательство. Все биномиальные коэффициенты C pk , 1 ≤ k < p , являют-

ся

целыми

p(p

числами

и

вычисляются

по

формуле:

C pk =

p!

=

−1)K(p −k +1)

. Числитель данной дроби делится на p, ни

k!(p −k )!

1 2 K k

Т

один из множителей знаменателя не может быть делителем p в силу простоты

этого числа. Следовательно, C pk

Н

делится на p. Тогда, согласно теореме 2.28,Усо-

ответствующие слагаемые бинома Ньютона равны нулю, что доказывает пер-

Б

вую формулу для бинома Ньютона в характеристике p. Остальные формулы до-

казываются аналогично.

Обычно поле имеет достаточно большой спектр подполей.

Поле рациональных чисел Q – подполе поля вещественных чисел R, а оно

в свою очередь является подполем поля комплексных чисел C. Между C и Q,

При

между R и Q существует бесконечно много промежуточных подполей. Для ка-

ждого простого числа p многочлен

x2

− p

непр водим над Q, согласно крите-

впрочем

рию Эйзенштейна (теорема 2.24);

, можнойнепосредственно убедить-

ся, что

p не является рациональным

слом.

помощи вычислений можно

проверить,

о

Q} является полем. Это подполе

что множество K =

{a

+b

p; a,b

поля R,

т

содержащее Q в качес ве св его подполя. Аналогично образует поле

множество

свои

F = {a +bi; a,b Q} к мплексных рациональных чисел. Оно содер-

жит Q и принадлеж т полю комплексных чисел C.

з

n

Определение

основные свойства векторных пространств над полем R

переносятся на про

вольные поля. При этом векторное пространство над ко-

о

особенности.

нечным полем имеет

Те рема 2.30. Пусть V – n-мерное линейное пространство над полем

F (q)

Опр

векторов.

из q элемент в. Тогда V состоит из q

Степень

ределение 2.31. Если P является подполем поля F, то F называют

расшир ни м оля P.

Р

деление 2.32. Расширение F поля P называется конечным (степени

n), сли размерность векторного пространства F над полем конечна (и равна

n).

расширения принято обозначать через [F : P].

Определение 2.33. Элемент α f – расширения поля P является алгеб-

раическим над полем P, если существует многочлен

У

f (x) P[x], корнем кото-

й

трансцендентных вещественных чисел существенно больше, чем вещественных

алгебраических, чем рациональных чисел.

Теорема 2.32. Всякое конечное

расширение

произвольного поля P являет-

ся алгебраическим над P.

Следствие 1. Если расширение F поля P содержит трансцендентные над

полем P элементы, то степень этого

асш

ен я бесконечна.

го

Следствие 2. Степень расши ения [R : Q]= +∞.

f (x) P[x] степени

Теорема 2.33. Для всяк

неп ив димого многочлена

n >1 существует расширение п лярP степени n, содержащее корень этого

многочлена.

и

3

2

2

Пример 2.39. Уравнен е

x

−2

= 0

не имеет рациональных корней со-

гласно критерию Эйзенштейнат(теорема 2.24). Это уравнение имеет следующие

3

3

2(−1+i

3)

3 2

(−1−i

3)

три

иррациональных

корня:

2;

;

.

Поле

3

п

3

Q(

2 )= {a +b

2з+c 4; a,b, c Q}

содержит только первый из перечисленных

корней.

Такое

Расширение F поля P называется полем разложения

О ределениео2.34.

многочл на f

(x) P[x], если оно содержит все корни этого многочлена.

название мотивировано теоремой Безу о корнях многочленов – при

наличии в поле F всех корней многочлена

f (x)

последний раскладывается в

произведение многочленов 1-й степени – двучленов вида x −α.

Теорема 2.34. Для всякого многочлена

f (x)

P[x]

существует

поле

РF P – конечное расширение поля P – поле разложения многочлена f (x).