i1

i2

i3

i4

→

1

2

3

4

i5

i6

i7

i8

5

6

7

8

i9

i10

i11

i12

9

10

11

12

i

i

i

13

14

15

У

13

14

15

Рисунок 2

Т

Можно показать, что задача разрешима тогда и только тогда, когда под-

становка f

1

2

K 15

четная. Возможно ли привести положение на

=

i

K i

i

2

Н

1

15

доске (рис. 3) в состояние (1)?

2

1

3

й

Б

4

5

6

и

7

8

9

10

11

12

13

14

15

ко

Рисун к 3

1

2

меет

Здесь

f

=

р= (12)(3)(4)K(15)= (12), подстановка не-

2

1

3

4

K

15

и

орую почти 130 лет тому назад предлагали

четная. Следовательно, задача, за

большой денежный пр

, не

решения.

ко

2.8. Криптосистема RSA

Понятие группы считается основополагающим в математике XX века.

Группы шир

зприменяются в физике (от кристаллографии до теории элемен-

тарных частиц), химии, биологии, теории информации. Новейшие методы за-

следующем.

щиты информации от несанкционированного доступа называют групповыми,

так как они базируются на понятии группы. Ярким примером является крипто-

Р

сист мапRSA, предложенная в 1977 г. американскими исследователями Ривер-

стом, Шамиром и Адлеманом (Riverst R.L., Shamir A., Adleman L.). Суть ее в

Находятся два больших простых числа (60-70 десятичных знаков) p и g.

Вычисляется их произведение n = p g . Тогда (свойства 3, 1 функции Эйлера)

ϕ(n)= ϕ(p g )= ϕ(p) ϕ(p)= (p −1) (g −1). Фиксируется натуральное

число

e, 0 < e < n, НОД(e, ϕ(n))=1. Пара (e, n) называется открытым ключом.

Переда-

далее, пробел = 00), шифруется

в виде числа c – сообщения, 0 < c < n ,

НОД(c, n)=1. Тогда c есть обратимый элемент кольца Z/nZ, то есть элемент

абелевой группы (Z/nZ)* порядка

ϕ(n). Сообщение шифруется и передается

Адресат получает сообщение m. Он, как и все, знает величины n и e. Он

также должен знать секретный ключ – такое натуральное число d < n , что

У

e d ≡1(mod ϕ(n)). По определению это означает, что e d =1 + ϕ(n) q для неко-

торого целого q. Тогда m d = c ed = c1+ϕ(n)r

= (c ϕ(n))r c =1 c = c . Чтобы рас-

Т

шифровать m адресат должен возвести m в d-ю степень по модулю n. Это про-

стая задача.

Перехватчик, чтобы расшифровать сообщение m, должен разложить n на

множители: n = pq . Тогда вычисляется ϕ(n)

и d легко находится по открытому

ключу e. Именно разложение ключа n на множители и составляет основную

сложность предлагаемой криптосистемы. Как было отмечено в первом разделе,

разложение натурального числа на множители является, поНвсей видимости,

экспоненциальной относительно n задачей, эквивалентной перебору всех воз-

можных кандидатов на делители.

Б

Чтобы продемонстрировать стойкость

криптосистемы, изобретате-

ли зашифровали свое сообщение, используя в качестве n – 129-значное число и

в качестве e – 4-значное число. Их сообщенсвоейе m было 128-значным числом.

Всемирно известный американский спец ал ст по головоломкам М. Гарднер

опубликовал этот криптотекст в жу налеи«Scientific American» в августе 1977 г.,

предложив 1000 долларов му, кто его асшифрует. Текст был расшифрован

р

лишь в апреле 1994 г. 129-значн е число n было разложено на 64- и 65-значные

т

множители p и q. Непосредс венная факторизация числа n заняла полтора года

вычислений. После этого расшфровкасообщения не составила труда.

з

о

2.9. Кольца. Подкольца и идеалы колец

Определение 2.18.иКольцом называется непустое множество K с двумя

бинарными алгебраическими операциями сложения (+) и умножения ( ); отно-

п

сительно ерации сложения K является абелевой группой, а умножение и

сложение

связаны зак нами дистрибутивности:

Р

(a +b) c = a c +b c; a(b +c)= ab + ac для произвольных a,b, c K .

для произвольных a,b, c K .

Кольцо K называется кольцом с единицей, если оно ассоциативно и име-

ет нейтральный элемент относительно операции умножения.

Кольцо K называется коммутативным, если ba = ab для произвольных

a,b K .

У

Теорема 2.16. Пусть K – ассоциативное кольцо с единицей. Множество

K* обратимых относительно умножения элементов кольца K есть группа (ее

называют мультипликативной группой кольца K).

Пример 2.27. Легко видеть, что в кольце целых чисел обратимы относи-

Н

тельно умножения только два числа: 1 и –1. Следовательно, Z* ={1,−1}.

Пример 2.28. M n (R)* = GLn (R).

Пример 2.29. Мультипликативная группа (Z/nZ)* кольца классовТвычетов

Б

Z/nZ по модулю n состоит из ϕ(n) классов, порожденных целыми числами, вза-

имно простыми с модулем.

единицей

а) Q – кольцо рациональных чисел;

Определение 2.20.

Если в кольце K с

мультипликативная груп-

па K* = K \ {0}, то кольцо K называют телом или алгеброй с делением. Ком-

мутативное тело называют полем.

и

Пример 2.30. Следующие кольца являются полями:

р

б) R – кольцо вещественных чисел;

кольце

в) C – кольцо комплексных чисел;

г) Z/pZ – кольцо класс в вычет в по п остому модулю p.

т

льца K – это подгруппа аддитивной

Определение 2.21.

П дк льцо

группы (K, +), в свою очередь являющаяся кольцом, то есть замкнутая отно-

и

K.

сительно операции умножен я в

з

Пример 2.31.

(nZ, +, ) – подкольцо кольца Z целых чисел; Z – подкольцо

кольца Q рациональных ч сел; Q – подкольцо кольца R вещественных чисел.

это

Первое из них –

кольцо без единицы, хотя само кольцо Z с единицей.

Подк льца, в

бщем случае, практически не наследуют свойства колец.

Поэтому в те рии к лец наибольшее значение имеют подкольца специального

вида – идеалы.

О ределение 2.22. Подкольцо J кольца K называется левым идеалом

кольца K, сли для любого

k K и для каждого

j J произведение

jk J , то

Р

пJk J . Если же kJ

J для всех элементов k K , то J называют пра-

сть

вым ид алом. Двусторонний идеал – идеал, являющийся одновременно и левым

иеправым идеалом.

Ясно, что в коммутативном кольце все идеалы двусторонние.

Пример 2.32. mZ =

{mg | g Z}

– двусторонний идеал кольца целых чи-

сел Z для всякого натурального m. Очевидно,

mZ ≠ Z , если m >1.

Ясно, что

2z > 4z > 8z >16z >K; 2z > 6z >12z >K.

в отличие от остальных – собственных идеалов.

У

Теорема 2.17. 1. Пересечение идеалов данного кольца K есть идеал этого

же кольца.

Т

2. Если J1, J 2

– левые (правые) идеалы кольца K, то их сумма, то есть

множество всех сумм

{j1 + j2 |

j1 J1;

j2 J 2 },

есть левый (правый) идеал

кольца K.

Н

3. Произведение J1J 2 = {j1 j2 | j1 J1; j2 J 2 } левых (правых)

идеалов

Б

J1, J 2 кольца K есть левый (правый) идеал этого же кольца.

4. Для каждого элемента a кольца K множество aK ={ak | k K} есть

левый идеал кольца K.

5. Если в кольце K с единицей элемент a K *, то

a = K ; если же

Определение 2.23. Левым главнымидеалом

a кольца K, порожденным

a K *, то a – собственный идеал кольца K.

6. Если K – коммутативное кольцо

a

= bc

для необратимых элементов

a,b, c K , то a

c , a b .

р

й

Доказательство состоит п ямой п ове ке всех аксиом идеалов.

ов

т

то есть

элементом a K , называется идеал из 4-го пункта теоремы 2.17,

подкольцо кольца K, сос

оящее из всех элементов ak, k K . Правый главный

идеал a состоит

их

ka, k K .

з всех элемен

Теорема 2.18. В кольце целых чисел Z – всякий идеал J – главный.

На множестве

деалов каждого кольца существует отношение частичного

порядка по включению

друг в друга как множеств.

Особую роль играют

максимальные идеалы.

з2.24. Идеал M (левый, правый, двусторонний) кольца K на-

максимальным, если в K не существует собственного идеала J с ус-

лови м M оJ .

Т ор ма 2.19. В кольце целых чисел идеал J максимален тогда и только

Определение

=

p .

тогда, когда существует простое число p, такое, что J

зывается

2.10. Делимость в кольце многочленов

Пусть P – поле, то есть произвольное коммутативное кольцо с единицей,

Ру которого все элементы, отличные от нуля,

обратимы,

иными

словами,

P* = P \ {0}. Например, P = Q, R,C, Z / pZ .

Н

У

q(x) и g(x) называют нетривиальными делителями многочлена

f (x).

Очевидно, каждый ненулевой элемент поля P является делителем любого

многочлена из кольца P[x]. Поэтому элементы полей называют тривиальнымиТ

делителями многочленов.

Б

Теорема 2.21. Обратимыми многочленами в кольце многочленов P[x]

й

являются многочлены нулевой степени, отличные от нуля, и только они,

то есть P[x]* = P * .

Наибольшим

делителем

многочленов

Определение 2.26.

f1(x), f2

(x), K, f5 (x)

называется их общ й дел тель со старшим коэффициен-

Теорема 2.22. Наибольший

другойбщий делитель многочленов

f (x) и

g(x) из

том 1, который делится на любой

общ

делитель. Его обозначают

НОД(f1

(x), f2 (x), K,

fs (x)).

о

Алгоритм Евклида нах ждения НОДобщим, ассмотренный ранее в разделе 1

т

для целых чисел, справедлив и для мн г членов.

и

кольца P[x]

(с точнос

ью до мн жителей из поля P) совпадает с последним

отличным от нуля оста

ком rn (x) следующей цепочки равенств:

з

{f (x)

= g(x)q1

(x)+ r1

(x);

{g(x)= r (x)q

2

(x)+ r

(x);

1

2

{r1

(x)

= r2

(x)q3 (x)

+ r3

(x);

п

{KKKKKKKKKKK

о(x)= r (x)q

делитель

(x)+ r (x);

{r

n

n−2

n−1

n

Р

{rn−(x)= rn (x)qn+1(x).

Прим р 2.35. Найти при помощи алгоритма Евклида наибольший общий

многочленов f (x)= 2x4 +5x3 −8x2 −17x − 6 и g(x)= x3 + 4x2 − x −4 в

кольце Q[x].

Решение. Последовательным делением «уголком» получаем следующую

цепочку равенств алгоритма Евклида:

f (x)= g(x) q (x)+ r (x), где q (x)= 2x −3,

r (x)= 6x2 −12x −18 ,

1

1

1

1

g(x)= r (x)q

2

(x)+ r (x), где

q

2

(x)= 1 x +1,

r (x)=14x +14 ,

1

2

6

2

Определение 2.27. Многочлены

f (x) и g(x) называют взаимно просты-

ми, если их наибольший общий делитель равен 1.

У

Обратной прогонкой алгоритма Евклида (аналогично целым числам) по-

лучается критерий взаимной простоты двух многочленов.

Т

Теорема 2.23. Многочлены f (x)

и g(x) являются взаимно простыми то-

Н

гда и только тогда, когда найдутся такие многочлены u(x), v(x), для которых

выполняется

следующее

равенство

(соотношение

Безу для

многочленов):

f (x)u(x)+ g(x)v(x)=1.

Б

С помощью этого критерия получается ряд следствий, имеющих незави-

симое значение. Приведем их в виде отдельных утверждений.

Утверждение 2.1. Если многочлен

й

f (x) взаимно прост с каждым из мно-

гочленов ϕ(x) и ψ(x), то он взаимно прост и с их произведением.

и

(x) делится на

Утверждение 2.2. Если произведение многочленов f (x) и g

многочлен ϕ(x), но НОД(f (x), ϕ(x))=1, то g(x) делится на ϕ(x).

Утверждение 2.3. Если многочлен

f (x) дел тся на каждый из попарно

о

(x),K, ϕm (x),

то f (x) делится и на их

взаимно простых многочленов ϕ1(x), ϕ2

произведение ϕ1(x) ϕ2 (x) K ϕm (x).

Определение 2.28. Мн г членрf (x) P[x] степени n ≥1 называется не-

приводимым в кольце P[x], если в люб м его представлении в виде произведения

f (x)= g(x)q(x) сомнож

елей g(x), q(x)

P[x] один из этих сомножителей яв-

з

ляется константой, то естьэлементом поля P.

ервой

Структура непр вод мых многочленов существенно зависит от поля P.

Если

P = C –

п ле ик мплексных чисел, то неприводимыми многочленами в

C[x]

являются т лько многочлены первой степени согласно основной теореме

алгебры. Отсюда следует, что в кольце

R[x] неприводимыми являются лишь

многочлены

степени, а также второй степени с отрицательным дискри-

минантом. Что касается кольца Q[x], то здесь для каждого натурального n ≥1

сущ ствуютп(причем бесконечно много) неприводимые многочлены степени n.

К прим ру, таковыми являются многочлены xn ± p , где p – простое число со-

Теорема 2.24 (критерий Эйзенштейна). Пусть

Рf (x)= a

n

xn + a

n

−1

xn−1

+K+ a x + a

0

– многочлен степени n >1 с целыми коэф-

1

фициентами и p – такое простое число, что ai ≡ 0(mod p) для всех i < n , но an

не делится на p, и a0

не делится на p2 . Тогда f (x) – неприводимый в кольце

Q[x] многочлен.