2.5. Теорема Лагранжа

Теорема 2.8 (Лагранжа). Порядок конечной группы делится на порядок

любой ее подгруппы.

H –

конечной группы G. Пусть

Доказательство.

Пусть

подгруппа

G

= n,

H

У

= m . Согласно теореме 2.7 группа G есть объединение непересекаю-

щихся смежных классов (левых или правых) по подгруппе H, каждый мощно-

Т

стью m. Пусть имеется всего k различных классов. Тогда n = km . Следователь-

но,

G

делится на

H

, что и требовалось доказать.

Н

Следствие 1. В конечной группе индекс подгруппы равен частному от де-

ления порядка группы на порядок подгруппы.

Следствие 2. Любая группа простого порядка является циклической и не

содержит собственных подгрупп.

Б

Пример 2.16. Всякая группа, порядок

равен одному из следую-

щих чисел: 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017 яв-

ляется циклической.

которой

Следствие 3. Если G –

г уппа

n элементов, то для каждого

a G an = e . Другими словами, в к

из

й г уппе порядок любого ее элемента

делит порядок самой группы.

р

В связи с теоремой Лагранжа возникает следующий вопрос: существует

конечная

ли для всякого дел теля m порядка n конечной группы G подгруппа H порядка

m?

Вообще,

т

на данный вопрос отрицательный. Тем не менее, для цик-

лических групп

тветиположителен.

Те рема 2.9. В циклической группе G для каждого делителя m порядка

G

найдется

з

дгруппа из m элементов.

ответ

2.6. Нормальные подгруппы и фактор-группы

деление 2.13. Собственная подгруппа H группы G называется нор-

Опр

мальной, сли для всякого a G a H = H a = e , то есть каждый левый смеж-

ныйекласс по подгруппе H совпадает с правым смежным классом. В этом слу-

чае пишут H G .

Р

Ясно, что у абелевых групп все подгруппы нормальные. Очевидно, всякая

подгруппа индекса 2 является нормальной.

Теорема

2.10.

H G

тогда

и только

тогда, когда для каждого

Определение 2.14. Пусть (G, ) – группа и H – ее подгруппа. Фактор-

множеством (левым) группы G по подгруппе H называется множество всех

левых смежных классов {H , aH ,bH ,K}

и обозначается через G/H.

Пусть H – нормальная подгруппа. Определим умножение на фактор-

множестве G/H по следующему правилу: aH bH = (ab)H . Операция полно-

У

стью определяется умножением элементов группы G, поэтому ее называют ин-

дуцированной операцией умножения на фактор-множестве.

Т

Теорема 2.11. Относительно

индуцированной операции фактор-

множество G/H по нормальной подгруппе H является группой.

Пример 2.18. Группа (Z,

+) содержит для всякого натурального

n >1

Н

нормальную подгруппу (nZ, +). Следовательно, определена фактор-группа G/H.

Это не что иное, как рассмотренная ранее (Z/nZ, ), – группа классов вычетов

по модулю n относительно операции

Б

классов.

2.7. Симметр ческая группа

Пусть Ω – конечное множество

й

з n элементов. Поскольку конкретная

природа его элементов несущественна, удобно сч тать, что Ω = {1,2,K, n}. Вся-

кое биективное, то есть взаимно

сложения

дн значное отображение Ω в себя называется

подстановкой на Ω.

Подстан вку f : i → f (i), i =1,2,K, n

удобно изображать в

р

развернутой и наглядной форме в виде двустрочной таблицы:

1

2

K

nо

f =

f (1)

f (2) K

.

f (n)

т

f (i)

В этой таблице каждый i-й столбец четко указывает, в какой элемент

преобразуется элементиi, 1 ≤ i ≤ n .

Подстан вкизперемножаются в соответствии с общим правилом компо-

зиции от бражений:

(gf )(i)= g(f (i)).

о

Пусть

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

.

Найдем

Прим р 2.19.

f =

, g

=

п

3 5 2 1 4

2 4 5 1 3

→ 5; g : 2 → 4, f : 4 →1; g : 3 → 5, f : 5 → 4; g : 3 → 5, f : 5 → 4;

fg. g :1 → 2, f : 2

е

:1 → 3; g

: 5 → 3,

f : 3 → 2 .

Получаем:

1

2

3

4

5

Най-

g : 4 →1, f

fg =

.

Рдем gf. Аналогично предыдущему

5

1

4

3

2

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

gf =

=

.

2 4 5 1 3

3 5 2 1 4

5 3 4 2 1

вом коммутативности.

1

2

n

Очевидно, тождественная подстановка

K

играет роль

e =

2

K

1

n

ти

для

подстановки

f

обратную

подстановку

f −1 ,

достаточно в таблице

1

2

K

n

переставить строки местами, а затем столбцы упорядо-

f (1)

f (2) K f (n)

У

чить по возрастанию элементов первой строки.

Пример 2.20. Для подстановки f из предыдущего примера 2.19 найти

f −1 .

Т

f

=

1 2 3 4 5

3 5 2 1 4

1 2 3 4 5

, f

−1 =

=

.

3 5 2 1 4

1 2 3 4 5

4 3 1 5 2

Н

−1

й

Проверим правильность результата, для чего найдем композиции:

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

f −1 f

=

и

Б

= e,

=

4 3 1 5 2

3 5 2 1 4 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

р

1 2 3 4 5

f f

=

4 3 1 5 2

=

= e.

3 5 2 1 4

1 2 3 4 5

о

Таким образом, подстан вки на Ω б азуют группу с операцией компози-

ции подстановок.

т

Определение 2.15. Симме

рическ й группой степени n называют группу

и

носительно операции умножения подстановок

подстановок на n элемен ах

(композиции отображен й)

обозначают через Sn .

Теорема 2.12. Порядок группы Sn

равен n!

о

Доказательство методом математической индукции. При n = 2 на множе-

стве Ω = {1,2}

существует в точности 2!= 2

различных подстановок – это тож-

п

f (1)= 2, f (2)=1. Предпо-

дественная

дстанзвка e и подстановка f, такая, что

ложим

индукции, что

Sn−1

= (n −1)! Перечислим все возможные подстановки

итребовалось

доказать.

f (1) можно взять любой из элементов

на n-эл м нтном множестве. В качестве

множ ства Ω = {1,2,K, n}. На долю остальных значений остается по предполо-

ж нию индукции (n −1)! возможностей. Таким образом,

Sn−1

= n(n −1)= n!, что

Пример 2.21. В силу теоремы 2.12

S2

= 2;

S3

= 6;

S4

= 24;

S5

=120 .

РРазложим подстановки из Sn

в произведение более простых подстановок.

4

g:

1

4

f:

1

3

2

3

У

2

Рисунок 1

= (1,2,3,4) или, если это не

Подстановка f кратко записывается в виде f

вызывает разночтений в виде f

= (1234)

и носит название цикла длиной 4, а

подстановка g записывается в виде g = (14)(23) произведения двухТнезависимых

(непересекающихся) циклов (14) и (23) длиной два.

Б

Например,

f

1

2

3

4

5

6

7

8

=

можно записатьНв виде произ-

3

1

2

7

6

5

4

й

8

ведения циклов (132)(47)(56)(8)= (132)(47)(56), так как естественно в произведе-

нии f

= f1 f2 K f p

опускать сомножители, соответствующие Ωi

из одного эле-

мента, потому что

fi = e – тождественная подстановка на Ω.

Теорема 2.13. Каждая подстановка

f Sn , f

≠ l , является произведени-

ем независимых циклов длиной l ≥ 2 . Этоиазложение в произведение определе-

но однозначно с точностью до п

ядка следования циклов.

т

Определение 2.16. Цикл длинрй 2 называется транспозицией.

Теорема 2.14. Каждая п дс

ан вка

f Sn , f

≠ l

раскладывается в про-

изведение транспоз ц й.

о

з

Доказательство. Согласно теореме 2.13 f раскладывается в произведение

независимых циклов. Каждый цикл раскладывается в произведение независи-

новку

равенство

мых транспозиций. Примером такого разложения является следующее, легко

проверяем

:

(i1i2 Kik )= (i1ik ) (i1ik −1 ) K (i1i3 ) (i1i2 ).

п

Пример 2.22. Разложить в произведение циклов и транспозиций подста-

1

2

3

4

5

6

7

8

Р

g =

.

3

1

4

2

6

5

8

7

ш ние. g = (1342)(56)(78)= (12)(14)(13)(56)(78).

еазложение

подстановки

в

произведение транспозиций

неоднозначно.