Тема 5. Элементы высшей алгебры

23. Комплексные числа. Операции над ними, их свойства. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Корни из комплексных чисел. Формула Муавра.

24. Многочлены. Алгебраические уравнения. Основная теорема алгебры. Канонические представления многочлена. Разложение рациональных дробей на простейшие.

Тема 6. Неопределенный интеграл

25. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Методы интегрирования. Интегрирование рациональных функций.

26. Интегрирование иррациональных выражений. Подстановки Эйлера. Интегрирование тригонометрических выражений.

Тема 7. Определенный интеграл

27. Определенный интеграл, его свойства. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Формула Ньютона- Лейбница. Ее применение для вычисления определённых интегралов.

28. Методы вычисления определенного интеграла. Приближенные методы вычисления определенных интегралов (по формулам прямоугольника, трапеции, Симпсона).

29. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Их основные свойства. Теоремы сравнения.

Тема 8. Функции нескольких переменных

30. Функции нескольких переменных. Область определения. Пределы функции. Непрерывность. Частные производные, полный дифференциал. Дифференцируемость функции.

31. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Производные сложных функций.

32. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Неявные функции, теорема существования. Дифференцирование неявных функций.

33. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Метод наименьших квадратов. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Примеры применений при поиске оптимальных решений.

Тема 9. Интегральное исчисление функций нескольких переменных

34. Задачи, приводящие к понятиям кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Интеграл по фигуре и его общие свойства. Двойной интеграл, его свойства и вычисления в декартовой и полярной системах координат.

35. Тройной интеграл, его свойства и вычисления в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

36. Криволинейные и поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства и вычисление. Их приложения, формулы Грина, Стокса, Остроградского- Гаусса.

Тема 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ду) и системы дифференциальных уравнений (сду)

37. Физические задачи, приводящие к ДУ. ДУ с разделяющимися переменными. ДУ первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

38. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах (уравнения в полных дифференциалах, однородные ДУ, уравнения Бернулли и т.д.).

39. ДУ высших порядков. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. Приложения к решению задач о 2-й космической скорости, движении физического маятника. Понятие о краевых задачах для ДУ.

40. Линейные ДУ, их общие свойства. Линейные ДУ с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Метод Лагранжа.

41. Системы ДУ (СДУ). Нормальные системы ДУ, свойства их решений. Задача Коши. Линейные СДУ. Методы их решения. Автономные системы. Свойства их решений. Фазовые пространства, плоскость, фазовая кривая. Простейшие численные методы решения ДУ и СДУ.

42. Понятие о качественных методах исследования ДУ и СДУ. Понятие об устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову. Устойчивость решения системы ДУ с постоянными коэффициентами.