Теорема. Длина (или модуль)

векторного

произведения

[ a b ]

равняется

площади S параллелограмма, построенного

на

приведенных

к

общему началу векторах a

и b .

Введем определение орта: ортом произвольного ненулевого вектора

c

назовем единичный вектор, коллинеарный

и имеющий одинаковое с

c

c

направление.

Следствие из теоремы. Если

e

– орт векторного произведения

[ a

b ] , а

S – площадь параллелограмма, построенного

на

приведенных

к

общему

началу векторах a и

b

, то для векторного произведения

[ a

b ] справедлива

формула [ a

b ] S

e

, тройка векторов

a b e

– правая.

Алгебраические свойства векторного произведения

1.

[ a b ] [ b

a ]

(свойство антиперестановочности сомножителей).

2.

[ ( a) b ]

[ a b ]

(сочетательное

относительно

числового

множителя).

3.

[ ( a

b )

c ] [

a c ] [ b

c ] (распределительное относительно суммы

векторов).

4.

[ a a ] 0 для любого вектора

a

,

так как вектор

a

коллинеарен сам

себе.

Теорема.

Если два вектора

и

определены своими декартовыми

a

b

прямоугольными координатами a { x1 , y1 , z1} и

b { x2 , y2 , z2 },

то векторное

произведение этих векторов имеет вид

[a

b]

{(y z y z ), (z x z x ), (x y x y )}

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

или же

i

j

k

(4.18)

[a b]

x1

y1

z1

.

x2

y2

z2

{ x1 , y1 , z1}

{ x2 , y2 , z2 }

Следствие. Если два вектора

a

и b

коллинеарны,

то координаты их пропорциональны, то есть

x1

y1

z1

x2

y2

z2

(эту пропорцию следует понимать, как x1 y2

x2 y1

и т.д.).

Пусть даны три вектора a ,

b и c

. Если вектор

a векторно умножается

на

b , а затем получившийся вектор

[ a b ] скалярно умножается на вектор c ,

то

([ a

b ], c )

получается

число,

называемое смешанным

произведением

векторов

a ,

b ,

c .

Геометрический смысл

Смешанное

произведение ([ a

b ], c )

равно объему

параллелепипеда,

построенного на приведенных к общему началу векторах

a ,

b и

c , взятому

со знаком (+), если тройка

a b c

правая, и со знаком (-) , если тройка a b c

левая. Если же векторы a

, b

и c

компланарны, то ([ a

b ], c )

0 .

Следствие 1. Справедливо равенство

([ a

b ], c ) ( a, [ b

c ]) .

Теорема. Если три вектора

a ,

b и

c определены своими декартовыми

прямоугольными координатами a

{ x1 , y1 , z1}, b { x2 , y2 , z2 }, c { x3 , y3 , z3 }, то

смешанное произведение

([ a

b ], c )

равняется

определителю, строки

x1 y1 z1

([ a

b ], c )

x2

y2

z2

.

(4.19)

x3

y3

z3

a 2, 2,3 ,

4,0, 6 .

b

Координаты векторного произведения a

определяем по формуле:

b

a

i

j

k

2

2 3

.

b

4

0

6

2

3

2

3

2

2

Получаем

,

,

или a b 12,24,8 .

a b

0

6

4

6

4

0

25

векторах a

и b , то есть половину модуля векторного произведения

1

a

1

1

14 кв.ед. .

S

122

242

82

b

784

2

2

2

Пример 4.4. Даны вершины тетраэдра:

A (0, -2, 5),

B (6, 6, 0),

C (3, -3, 6),

D (2, -1, 3). Найти длину его высоты, опущенной из вершины C .

Решение. Найдем сначала объем тетраэдра ABCD . Объем тетраэдра есть

1/6 объема параллелепипеда. Применяя формулу (4.18), имеем

1

0 2

2 ( 1)

5 3

1

2

1 2

1

0 1 0

1

1

11

V

6 2

6 ( 1)

0 3

4

7 3

1 7

11

.

1

6

6

6

6

4

1

3 2

3 ( 1)

6 3

1

2 3

4 2

1

Так как определитель равен отрицательному числу, то в данном случае

перед

формулой

нужно

взять

знак

минус.

Следовательно,

V

1

( 1 4 11)

45

15

.

1

6

6

2

Искомую величину h определим из формулы V

1

Sh , где S – площадь

3

1

основания.

Определим

площадь

S:

S

a b

,

где

a DA 2, 1,2 ;

2

4,7, 3 .

b

DB

Поскольку

a

1

2

,

2 2

2

1

;

a

11,2, 10 ,

b

,

b

7

3

4

3

4

7

1

a

1

1

15

.

( 11)2 22 ( 10)2

то S

b

255

2

2

2

2

1

15

15

Подставляя в формулу V

Sh

значения V

и S

, получим h=3.

3

2

2

x1, x2, …, xn называется n –мерным вектором

; при этом числа,

составляющие упомянутый набор, называются координатами вектора .

Определение. Совокупность всех n –мерных векторов называется n –

мерным векторным пространством Rn.

Координаты n –мерного вектора можно расположить либо в строку

=( x1, x2, …, xn ) – вектор-строка, либо в столбец

– вектор-столбец.

векторным пространством.

Отметим, что под

можно рассматривать не только векторы, но и

неизвестными х,у,z определяет относительно этой системы плоскость.

Уравнение

Ах + Ву + Сz + D = 0

(5.1)

существует точка

М0(х0,у0,z0), координаты которой

удовлетворяют

уравнению Ах0 +Ву0 +Сz0 +D = 0.

Вычитая это уравнение из (5.1), получим

А(х – х0) + В(у –у0) +С(z – z0) = 0 .

(5.2)

A; B;C .

перпендикулярно n

определяет плоскость, параллельную оси 0z,

( A, B,0) ,

Oz

n

n

( A,0,0) .

плоскость, параллельную плоскости Oyz , n

27

d

Ax1 By1 Cz1 D

A2 B2 C 2

(5.3)

5.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть даны три точки

M1 (х1, у1, z1), M 2 (х2,

у2, z2), M 3 (х3, у3, z3), не

лежащие на одной прямой.

Определим уравнение плоскости (причем единственной), проходящей

через эти три точки.

Так как три точки не лежат на одной прямой, то векторы

x1; y3 y1; z3 z1 не коллинеарны.

М1М 2 = x2 x1; y2 y1; z2 z1 ,

М1М3 = x3

Тогда точка M лежит в одной плоскости с точками M1, M 2 , M 3 тогда и только

y1; z z1 компланарны,

тогда, когда векторы М1М 2 , М1М3 и M1M = x x1; y

то есть только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю,

x x1

y y1

z z1

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0

(5.4)

x3 x1

y3 y1

z3 z1

между их нормальными векторами

A1; B1;C1 ;

A2 ; B2 ;C2 . (Две

n1

n2

cos

A1 A2 B1B2 C1C2

-

(5.5)

A2

B2

C2

A2

B2

C2

1

1

1

2

2

2

– угол между двумя плоскостями.

Условие

параллельности

плоскостей

эквивалентно

условию

коллинеарности векторов n1

и n2

и имеет вид