Активный факторный эксперимент введение_с42-43
.docКлассический и статистический методы планирования
активного эксперимента.
Введение
Существует два подхода к планирования эксперимента:
- классический (метод Зейделя - Гаусса);
- статистический.
При классическом методе ("изменяйте факторы до одному") производится поочеред-ное изменение каждого фактора до определенного частного максимума при достоянном зна-чении всех прочих факторов. Для полного выяснения влияния различных факторов и опре-деления оптимальных условий технологического процесса (где наибольшее количество вли-яющих на процесс факторов), надо поставить большое число опытов. Например, если иссле-дуется влияние пяти факторов, т.е. пяти переменных, то при четырех значениях каждого пе-ременного (или при четырех уровнях) число сочетаний составит 45 == 1024. Практически та-кого числа опытов не ставят. Требуется большая затрата времени и средств. А при неболь-шом числе опытов (5∙4 = 20) нет полной уверенности в том, что оптимальные условия дей-ствиительно найдены. Кроме того, данная методика не позволяет установить взаимодействие или взаимозависимость отдельных факторов. Изменение одного фактора может служить при-чиной изменения других, иногда многих параметров.
Методы планирования активного эксперимента нашли широкое применение с це-лью определения математической модели технологических процессов. При подготовке ак-тивного эксперимента намечается определенный план его постановки, при котором целена-правленно, варьируются входные переменные х1, х2, х3, ..., хn , именуемые факторами. Ста-тистические характеристики объекта исследования по результатам анализа факторного пла-нирования эксперимента определяются при меньшем объеме вычислений по сравнению с ме-тодами регрессионного анализа. При двух вводных переменных планированный факторный эксперимент называется двухфакторный, при трех – трехфакторным и т.д.
Выходную величину объекта у при планированном факторном эксперименте назы-вают функцией отклика (целевой функцией) или параметром (критерием) оптимизации. Обычно стремятся достичь экстремального значения параметра оптимизации. Этот экстремум может быть условным. Например, если хотят получить максимальное значение целевой функции без каких-либо дополнительных ограничений, то дело имеем с экстрему-мом функции. Если стремятся получить максимальное значение целевой функции при за-данном ограничению какого-то фактора, то фактически отыскивается условный экстремум.
Между критериями оптимизации и факторами обычно существует некоторая функцио-нальная связь вида,
y = f(х1, х2, …, хn)
Геометрический образ, соответствующий функции отклика называется поверхностью отклика или гиперповерхностью. Если функция линейна, то - гиперплоскостью.
Если зависимость y=f(x1, x2,…xn), достаточно точно описывает исследуемый про-цесс в интересующей экспериментатора области, то эта зависимость называется статиче-ской моделью процесса. Если в число факторов включено время:
Y' = f(х1, х2, …, хn, t),
то такая зависимость называется динамической моделью процесса.
Методы планирования активных экспериментов основаны на одновременном измене-нии многих факторов, причем эти планы допускают такую последующую обработку данных, которая позволяет выделить влияние каждого отдельного фактора и их взаимодействия на изменение выходных параметров процесса, т. е. получить математическую модель в задан-ной области экспериментирования.
Применение этих методов возможно при следующих ограничивающих условиях:
- существует выходной параметр (функция цели) процесса, количественно определяющий его эффективность (возможно при ограничениях, накладываемых на другие выходные параметры);
- функция отклика непрерывна, т. е. при изменении значений факторов функция цели изменяется непрерывно;
- функция отклика одноэкстремальна, т. е. существует одно оптимальное соотношение факторов, при котором функция цели имеет максимальное (минимальное) значение;
- известны все факторы, существенно влияющие на процесс, а факторы, планируемые в эксперименте, управляемы, т. е. можно изменять их значение по заранее составленному плану;
- результаты опытов воспроизводимы. Ошибка воспроизводимости существенно меньше изменения выходного параметра под влиянием заданного изменения значений факторов;
- опыты должны быть рандомизированы, т. е. проводиться в последовательности, кото-рая устанавливается с помощью таблицы случайных чисел или любой процедуры, обеспечи-вающей случайный порядок проведения опытов. Рандомизация позволяет нивелировать си-стематические (например, периодические) воздействия неконтролируемых факторов.
Методы активного эксперимента позволяют при значительном сокращении числа опытов получить большую информацию, которую легко представить в виде уравнения регрессии, которое можно не только интерпретировать геометрически, но и проанализировать.
Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям независимых переменных выбираются (после выбора интервала варьиро-вания) так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний —1, а основной нулю. Это соответствует преобразованию координат
где х-кодированное значение факторов; хн – натуральное значение;
хн.о – основной уровень (натуральный); Δхн –интервал варьирования.