ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ

для студентов, обучающихся по направлению подготовки бакалавров 230100«Информатика и вычислительная техника», профилю «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»

по сокращенной программе

МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

1.1. Понятие матрицы Определение. Прямоугольная таблица чисел вида

называется матрицей.

Здесь aij – действительные числа (i =1, 2, …, m, j =1,2, …,n), называемые

элементами матрицы, i и j – соответственно индексы строки и столбца. При этом произведение m n числа строк на число столбцов называют размером матрицы А. Часто матрицу (1.1) записывают в сокращенном виде

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. В том случае, когда m = n (число строк равно числу столбцов)

т.е. ненулевыми могут быть только элементы главной диагонали, и матрица имеет вид

Матрицы A и B называются равными A B , если они имеют одно и то же число строк, одно и то же число столбцов и если при этом каждый элемент akl матрицы А равен соответствующему элементу bkl матрицы В.

1

1.2.Линейные операции над матрицами

1.2.1.Сумма матриц

Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В. Представим это в сокращенной записи. Пусть

А= aij , В = aij ; i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n.

Тогда сумма этих матриц С = А + В имеет вид

С= сij , cij aij bij ; i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n.

Свойства операции суммирования матриц

Пусть А, В, С – матрицы, имеющие одинаковый размер. Тогда:

1. А+В=В+А.

2. (А+В)+С=А+(В+С).

3. А+О=А, где О – нулевая матрица.

Тогда их суммой, согласно определению, является матрица

получается из матрицы А умножением всех ее элементов на : bkl akl .

Обозначение: В= А.

Свойства произведения матрицы на число

Пусть А, В, С – матрицы, имеющие одинаковый размер, а и - некоторые вещественные числа. Тогда:

1.А В А В.

2.( )А А А.

3.А А .

4.ОА=О, где О – нулевая матрица.

Тогда произведением матрицы А на число является матрица

2