преобразуем матрицу так, чтобы элементы первого столбца были равны нулю. Тогда матрица примет вид:

строк и столбцов. Добьемся того, чтобы b11 0 , переставляя местами строки. Если этого сделать нельзя, то матрица уже имеет ступенчатый вид. Проделаем те же операции, что и с матрицей А, и так до тех пор, пока матрица не примет вид (2.5).

Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду:

1.Умножим каждый элемент 1-ой строки на (-2) и сложим с соответствующим элементом второй строки; на (-4) и сложим с соответствующим элементом третьей строки.

2.Умножим каждый элемент 2-ой строки на (-3) и сложим с соответствующим элементом третьей строки.

3.Нетрудно увидеть, что максимальный порядок миноров этой матрицы отличных от нуля равен двум, поскольку минор третьего порядка содержит элементы 3-ей строки, которые равны нулю, следовательно, определитель третьего порядка равен нулю, таким образом, r(A) = 2.

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Общий вид и свойства системы уравнений

Здесь aij и b j -произвольные числа (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ..., n), которые

называются соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений (3.1). Первый индекс у коэффициентов при неизвестных означает номер уравнения, и второй индекс соответствует номеру неизвестного xi .

уравнение данной системы превращается в тождество.

Система уравнений (3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, и в таком случае она называется определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется неопределенной.

Системы уравнений вида (3.1) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Элементарные преобразования исходной системы приводят к эквивалентной системе. К элементарным преобразованиям относятся:

1)вычеркивание уравнения 0x1 0x2 ... 0xn 0 -нулевой строки;

2)перестановка уравнений или слагаемых aij x j в уравнениях;

3)прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженных на любое действительное число.

3.2. Матричная форма системы уравнений

Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (3.1) в матрицу

Эта матрица состоит из m строк и n столбцов и называется матрицей системы. Введем в рассмотрение две матрицы-столбца: матрицу неизвестных Х и матрицу свободных членов В:

10

Тогда систему линейных уравнений (3.1) можно записать в матричной форме, поскольку размер матрицы А равен m n, а размер Х- n 1, значит,

А столбцом свободных членов и получим новую матрицу размера m (n 1) :

Матрица A / B называется расширенной матрицей системы.

Теорема. (теорема Кронекера-Капелли; критерий совместности системы). Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

3.3.Теорема Крамера

Рассмотрим частный случай системы (3.1) , когда число уравнений равно числу неизвестных, т. е. m=n. Система уравнений имеет вид

Составим квадратную матрицу А третьего порядка этой системы:

Рассмотрим метод решения системы уравнений (3.6) основанный на теореме Крамера. Составим определитель матрицы системы А:

который называется также определителем системы.

Теорема. (теорема Крамера). Пусть –определитель матрицы системы А, а j – определитель, полученный из определителя заменой j-

го столбца столбцом свободных членов В. Тогда, если 0 , система линейных уравнений (3.6) имеет единственное решение, определяемое по формулам

x j j / , j 1,2, ..., n. (3.8)

Формулы вычисления неизвестных (3.8) – решения системы (3.5) – носят название формул Крамера.

11