|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 y 3z 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.1. Найти решение системы уравнений 4x y 4z 9 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 5y 2 y 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Решим систему, применяя формулы Крамера. |
|||||||||||||||||||
Определитель системы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
3 |
|
|
1 4 |
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
4 1 |
|
|
|||
|
1 |
=1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
5 |
2 |
|
|
5 |
2 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
=1(2 - 20) - 2(8 - 12) + 3(20 - 3) = -18 + 8 + 51 = 41 |
||||||||||||||||
отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение. Вычисляем определители: x ; y ; z :
|
|
6 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
9 |
1 |
|
4 |
|
6 |
( 18) 2 ( 22) |
3 |
35 108 44 105 41; |
||
|
|
10 5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
y |
4 |
9 |
|
4 |
|
1 ( 22) 6 ( 4) 3 13 22 24 39 41; |
|||||
|
|
|
3 |
10 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
z |
|
4 |
1 |
|
9 |
|
1 |
( 35) 2 13 6 |
17 |
35 26 102 41. |
|
|
|
3 |
5 |
10 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда: x x / 1; y Y / 1; z Z / 1.
3.4. Метод Гаусса
Рассмотрим еще один широко применяемый метод решения систем линейных алгебраических уравнений – метод Гаусса.
Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы системы (3.1)
|
a |
|
|
a |
... |
a |
b |
|
|
||
|
11 |
|
12 |
|
1n |
1 |
|
|
|||
A / B |
a |
21 |
a22 |
... |
a2n |
b2 |
|
(3.9) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
... ... ... ... |
|
|
||||||||
|
|
|
|
am2 |
... |
amn |
|
|
|
|
|
|
am1 |
|
bm |
|
|||||||
получить матрицу вида: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l22 |
|
* |
|
(3.10) |
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lrr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
* |
|
|
|
То есть необходимо с помощью элементарных преобразований обнулить элементы, стоящие под главной диагональю.
Для этого следует провести следующие действия.
12
1. Обнулим элементы, стоящие в первом столбце под элементом a11 . Если a11 0 , то умножим его и все элементы первой строки на ( a21 / a11 ),
( a31 / a11 ), … и сложим их с соответствующими элементами второй, третьей
итак далее строк. Если же a11 0 , то меняем местами строки или столбцы.
Врезультате
a |
|
* |
|
* |
|||
|
|
||||||
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
* |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Рассмотрим матрицу В (bij ) . Сделаем те же преобразования, что и
впредыдущем пункте.
Получаем
a |
* |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
0 |
b11 |
* |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
0 |
|
|
. |
|
|
|
C |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
2. Рассмотрим матрицу С. Произведем те же преобразования. И так до тех пор, пока не получим матрицу вида (3.10).
Матрица (3.10) соответствует системе линейных уравнений вида:
|
l |
y l y |
|
l |
y |
|
l |
|
y |
|
l |
y |
|
c , |
|
|||
|
|
11 |
1 12 |
2 |
1r |
|
r |
|
1,r 1 |
|
r 1 |
|
1n |
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
l22 y2 |
l2r yr |
|
l2,r 1 yr 1 |
l2n yn c2 , |
(3.11) |
||||||||||
|
|
|
|
|
lrr yr lr ,r 1 yr 1 lrn yn cr , |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
сr 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
cr 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
cm , |
|
|
|
|
|
|
||
где |
y1 , y2 ,...yn – это неизвестные |
x1, x2 ,...xn , переставленные определенным |
||||||||||||||||
образом. Их перестановка определяется перестановкой столбцов, которые приходилось делать по ходу вычислений.
Последние (m-r) уравнений следует понимать как
0 y1 0 y2 |
0 yn cr 1 , |
|
0 y1 0 y2 |
0 yn |
cr 2 , |
.. |
||
0 y1 0 y2 |
0 yn |
cm . |
Если хоть одно из сr 1 ,...cm 0 ,то получим несовместную систему
уравнений (т.е. не имеющую решений). Таким образом, для всякой совместной системы сr 1 ,...cm 0 . Тогда эти выражения можно опустить.
Переносим в (3.11) все члены, содержащие yr 1 ,...yn в правую часть, тогда
13
l y l y |
|
l |
y |
|
с l |
|
y |
|
l |
y |
|
, |
|
|||
11 1 |
12 |
2 |
|
1r |
|
r |
1 |
1,r 1 |
|
r 1 |
1n |
|
n |
|
|
|
|
l22 y2 |
l2r yr |
c2 |
l2,r 1 yr 1 l2n yn , |
(3.11) |
|||||||||||
|
|
|
|
lrr yr |
cr lr ,r 1 yr 1 lrn yn , |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
Здесь ( yr 1 ,...yn ) – свободные переменные, им можно придавать |
||||||||||||||||
произвольные значения. |
Неизвестные |
y1 ,..., yn определяются однозначно. Из |
||||||||||||||
последнего уравнения находим |
yr , |
далее |
подставляя |
yr в предпоследнее |
||||||||||||
уравнение, находим yr 1 |
и т.д.; lrr ,lr , r 1... 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Однородная система линейных уравнений имеет либо единственное тривиальное решение, т.е. x = y = z = 0, если ≠0 и ранг матрицы равен числу неизвестных, причем число неизвестных равно числу уравнений, либо имеет бесчисленное множество решений в противном случае.
x 2 y z 4
Пример 3.2. Решить систему уравнений: 3x 5 y 3z 1.
2x 7 y z 8
1 |
2 |
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Расширенная матрица системы |
3 |
- 5 |
3 |
|
1 |
|
~ Умножаем |
|
2 |
7 |
-1 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
||||||
каждый элемент 1-й строки на (-3) и складываем с соответствующими
элементами 2-й строки. Умножаем каждый элемент 1-й строки на |
(-2) и |
|||||||||||||||
складываем с соответствующими элементами 3-й строки. Получаем: |
||||||||||||||||
1 |
2 |
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
~ |
0 |
-11 |
0 |
|
|
-11 ~ Умножаем каждый элемент 2-й строки на ( |
3 |
|
) и |
|||||||
|
||||||||||||||||
|
0 |
3 |
- 3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
складываем с соответствующими элементами 3-й строки. Получаем: |
||||||||||||||||
1 |
2 |
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
~ |
0 |
-11 |
0 |
|
|
-11 . Тогда r(A) = r(A/B) =3 – система совместна |
|
|||||||||
|
0 |
0 |
- 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 2 y z 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
-11y |
-11 |
, |
|
z = 1; y=1; x=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
- 3z -3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x y z 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пример 3.3. Решить систему уравнений: 3x 2 y 2z 1. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 3y 3z |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Решение. Расширенная матрица системы |
|
3 |
2 |
2 |
|
1 ~ Умножаем |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
3 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
каждый элемент 1-й строки на (-3) и на (-4) и складываем с соответствующими элементами второй и третьей строк, соответственно.
14
1 |
1 |
1 |
2 |
|
|
Получим: ~ |
0 |
-1 |
-1 |
- 5 |
~ Умножаем каждый элемент 2-й строки на (-1) |
|
0 |
-1 |
-1 |
- 7 |
|
|
|
||||
и складываем с соответствующими элементами третьей строки. Получим: ~
1 |
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
-1 |
-1 |
|
- 5 |
|
. Ранг матрицы системы r(A)=2, ранг расширенной матрицы |
|
|
|
|||||
|
0 |
0 |
0 |
|
- 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
r(A/B)=3, r(A)≠r(A/B), следовательно, система несовместна.
x y z 1
Пример 3.4. Решить систему уравнений: 2x y z 2 .
3x 2 y 2z 3
Решение. Расширенная матрица системы
1 1 |
1 |
|
1 |
|
1 1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 1 |
1 |
||||||||
|
2 |
1 |
1 |
|
2 |
|
~ |
|
0 |
-1 |
-1 |
|
0 |
|
~ |
~ |
|
0 |
-1 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
2 |
|
3 |
|
|
0 |
-1 |
-1 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
r(A)=2; r(A/B)= 2 => система совместна. Тогда |
x y z 1 |
|
|
- y - z 0 |
|
|
|
|
1
0 ,
0
x y z 1y -z ,
где z = t, t- любое число, тогда x =1, y = -t, z = t , t – любое число.
4. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
4.1. Понятие вектора
Во многих математических и прикладных задачах приходится рассматривать направленный отрезок, т.е. множество точек, заключенных между точками A и B прямой с указанным направлением (к примеру, от A к B ).
Определение. Будем говорить, что всякий направленный отрезок задает вектор.
|
|
|
|
|
Обозначение |
AB |
( A - начало, |
B - конец), либо |
a . |
В
ААВ
Рис. 1 Начало вектора называют точкой его приложения.
Для обозначения длины вектора будем пользоваться символом модуля
| AB | , | a | .
15