2.3. Ранг матрицы

Пусть дана матрица, содержащая m строк и n столбцов

Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов. Элементы, которые находятся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка; определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров k-го порядка может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равен минимальному из чисел m и n, т. е.

max k = min(m,n)

Из всех возможных миноров матрицы А выделим те из них, которые отличны от нуля. В свою очередь, среди этих миноров можно найти по крайней мере один минор наибольшего порядка.

Определение 1. Наибольший порядок миноров, отличных от нуля,

называется рангом матрицы (2.4).

Вычисление ранга матрицы приведением ее к ступенчатому виду:

Идея: изменять матрицу А размера m n так, чтобы сохранялся ее ранг. В результате матрица приводится к виду:

.

Матрица (2.5) имеем ступенчатый вид, где a11, a22 ,..., arr 0, * – некоторые числа. Ранг этой матрицы = r.

Ранг матрицы не меняют следующие операции:

1.Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число;

2.Перемена местами строк, столбцов.

Вычисление ранга матрицы:

Рассмотрим элемент a11 . Пусть a11 0 , тогда умножая каждый элемент

первой строки на подходящие числа (для 2-ой ( a21 / a11 ), для 3-ей ( a31 / a11 )) и прибавляя их к соответствующим элементам 2-ой, 3-ей и так далее строк,

8