x

cos

;

x2 y2

z2

y

cos

;

(4.11)

x2 y2

z2

z

cos

.

x2 y2

z2

ними. Обозначение a b или ( a, b ) .

( a, b ) | a |

| b | cos ,

(4.12)

где – угол между a

и

b .

Произведение

| b | cos прa b

– есть

проекция вектора

на

ось,

b

определяемую вектором

a , или же | a | cos

прb a – проекция вектора

a на

ось, определяемую вектором

b , так как угол

– угол между a и

b .

(4.13)

a,b

a

прa b

b

пр a

,

b

| a |2

( a, a ) .

(4.14)

Теорема. Два ненулевых вектора a

и b составляют острый (тупой) угол

тогда и

только

тогда,

когда их скалярное произведение положительно

(отрицательно).

Алгебраические свойства скалярного произведения

1)

( a, b )

( b, a ) (переместительное свойство).

2)

( a, b )

( a, b )

(сочетательное

свойство относительно числового

3)

( a

b , c)

( a, c ) ( b, c ) (распределительное свойство относительно

суммы векторов).

4)

0

, если

- ненулевой вектор.

( a, a )

a

5)

0

, если

- нулевой вектор.

( a, a )

a

Теорема. Если два вектора

и

определены своими декартовыми

a

b

прямоугольными координатами:

{ x1 , y1 , z1};

{ x2 , y2 , z2 }, то скалярное

a

b

( a, b ) x1

x2

y1

y2

z1

z2 ,

(4.15)

отсюда

x2 y2

z2

| a |

( a, a )

1

1

1

x1 x2 y1 y2 z1

.

(4.16)

cos

z2

x2 y2 z2 x2

y

2

z2

1

1

1

2

2

2

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием ортогональности

векторов a { x1 , y1 , z1} и b

{ x2 , y2 , z2 } является равенство

x1 x2 y1 y2 z1 z2 0 .

Следствие 2. Угол между векторами определяется формулой (4.16).

Пример 4.1. Дан треугольник с вершинами A (-3,5,6),

B (1,-5,7), C (8,-3,-1). Найти внутренний угол при вершине A .

Решение. Внутренний угол треугольника при вершине

A равен углу

между векторами AB и AC .

Находим координаты указанных векторов:

4, 10,1 ,

11, 8, 7 .

AB

AC

С помощью формулы (4.16) находим косинус угла при вершине A :

4 11 ( 10)( 8) 1( 7)

cos cos(AB; AC)

42 ( 10)2

12

112 ( 8)2 ( 7)2

117

1

117 234

2 .

Следовательно, 45 .

Пример 4.2.

Даны

три

вектора

a i

2 j 2k ,

b

2i

j 2k ,

4

c ) .

.

Найти прa (

b

c 10i

j

2k

Решение. Определим вектор:

b

c (2i

j 2k ) (10i 4 j 2k ) 12i 5 j ;

22