6.3 Газовые законы для идеального газа

Идеальным газом называется такой, молекулы которого ничтожно малы (материальные точки), упруги и не связаны межмолекулярными силами.

Закон Бойля - Мариотта 1662 – 1667 гг.

Для данной массы газа при постоянной температуре t = const давление газа изменяется обратно пропорционально объему . PV = сonst.

Рис. 18 Графики давления и объема газа для закона Бойля-Мариотта (слева) и Гей Люссака

Зависимость между объемом –V и давлением - Р в законе Бойля =Мариотта. Справа зависимость объема –V и давления -Р от температуры -Т

Законы Гей-Люссака 1802 г.

Для данной массы газа при постоянном давлении (P = const) объем увеличивается пропорционально росту температуры. То же самое при постоянном объеме давление увеличивается с ростом температуры.

V=V₀ (1 + αT) P = P₀ (1 + αT) Оказалось, что α =1/273,16 К = 1/ 277 К^-1, где

Т – температура по шкале Кельвина Т = t_c - 273.16, где t_c – температура по шкале Цельсия.

Из закона Гей - Люссака следует V/V₀ = T/T₀ = P/P₀

Уравнения Клаперона-Менделеева

В 1834 году Клайперон объединил закон Бойля – Мариотта и Гей-Люссака и получил уравнение PV/T = β = const

В 1875 г. Д.И. Менделеев, исходя из законов Клайперона и Авогадро получил общее выражение уравнения состояния газа, связывающее объем – V, давление Р, температуру Т, массу – м и молекулярную массу – М.

PV = m/M RT, где R – 8,32 дж/моль – газовая постоянная. Она равна работе по расширению газа при нагревании на 1˚К.

Связь между скорости движения молеку с температурой и давлением газа

Связь между скоростью движения и давлением газа. Следует из элементарных соображений. При упругом ударе о стенку импульс силы будет равен удвоенному произведению ∆f • Δt = mV - (-mV) = 2 mV. Сложим все эти удары.

f = m/a ∑V_i² = m/a N′u², где u² – средне квадратичная скорость молекул, a – сторона куба

или P = 2/3 n₀ mu²/2 = 1/3 n₀E_k Это уравнение Клаузиса

Давление газа прямо пропорционально средней кинетической энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема.

Австрийский физик Л.Больцман исследовал зависимость кинетической энергии молекул от температуры и получил формулу на 3 степени свободы

Е_k = 3/2 kT, k = 1,38 • 10^-23 Дж/к Если i степеней, то Е_k = ikT/2.

Если 1 степень свободы, то Е_к = 3/2 kT/3 = kT/2 – постоянная Больцмана.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа зависит от температуры. Соответственно подставим в уравнение Клаузиса кинетическую энергию Больцмана и получим зависимость давления от температуры.

Из уравнения Клайперона - Менделеева выводится формула Авогадро для одного моля газа

PV_m = N_AkT, откуда V_m = N_AkT/P

Объем одного моля газа прямо пропорционален температуре и обратно пропорционален давлению.

Среднеквадратичная скорость молекул – u². Найдем из формулы Больцмана.

Е_k = mu²/2 = 3kT/2 или u² = 3kT/m U = √3kT/m = √3RN/(N_Am) = √3RT/m

Для данного газа средняя квадратичная скорость молекул пропорциональна корню квадратному из термодинамической температуры и зависит только от нее. Распределение молекул по скоростям движения исследовал Максвелл. Он получил формулу для наиболее вероятной скорости движения. V_b = √2RT/m

Уравнения Ван-дер-Ваальса для молекул реального газа, у которого часть объема молекул занято самими молекулами газа.

(Р+/V² м) (Vм–в)=RТ

Всякое вещество может быть газообразным, жидким и твердым.

Р Vм

Если сжимать жидкость, то можно получить состояние растянутой жидкости – ав, насыщенного пара – вd и парообразное состояние – dc. Для каждого вещества существует такая температура, выше которой газ не может превращаться в жидкость ни под каким давлением. Эта температура называется критической. Рис.19 График зависимости давления и объема для реального газа.

Для земной атмосферы, находящейся в поле тяготения Земли, закономерно уменьшение температуры в среднем на –6,5 градуса при подъеме на 1км. В результате на высоте 10 км температура падает от +15 до –50 градусов. Далее падение температуры замедляется и на высоте несколько десятков км начинается повышение температуры с высотой. При том мизерном давлении это не ощутимо для человека и летательного аппарата. Просто молекулы воздуха носятся с большой скоростью, подгоняемые солнечным излучением и потоком частиц от Солнца (солнечный ветер), редко сталкиваясь и достигая скоростей нескольких км/сек. А повышение скорости дает повышение температуры, в соответствии с выше приведенной формулой Больцмана. При этом самые легкие атомы воздуха достигают второй космической скорости и убегают из атмосферы Земли, становясь микро планетами, заполняющими окрестности Солнца.

Давления с высотой уменьшается по барометрической формуле для Земли:

h = 8000*lg(Po/Ph) где h высота в метрах, Po, Ph – давление на уровне моря и заданной высоте. Таким образом, измерив, давление на возвышенности можно определить ее высоту, что на много проще чем пытаться измерить ее в метрах. В справочниках по Земной атмосфере приводятся более точные данные по изменению температуры и давления с высотой.