Тема 2. Напряжения и токи в сопротивлении, индуктивности и емкости при произвольных воздействиях

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

В электрической цепи сопротивление, индуктивность и емкость относятся к категории так называемых пассивных двухполюсных элементов.

Между напряжением uи вызываемым им токомiвсопротивленииR имеет место соответствие, определяемое законом Ома:

(2.1)

Рис. 2.2

Полагается, что Rне зависит от протекающего через сопротивление тока и внешних воздействий (температуры и др.), а также от времени. Такое сопротивление называется линейным. Изображаемое на схемах в виде удлиненного прямоугольника (рис. 2.1,а) сопротивление R в реальной цепи не всегда имеет вид отделяемого от других элементов устройства в форме, например, реостата или резистора. Чаще оно учитывает, моделирует энергетические потери и другие явления в цепи. Так, в частности, реальная катушка индуктивности часто представляется на схемах в виде последовательно соединенныхL иR, гдеR - сопротивление проводов катушки. ОтделитьR от катушки физически невозможно, но при анализе это, однако, допускается.

На схеме изображаются отдельно – «чистое» (без индуктивности) сопротивление R и «чистая» (без сопротивления) индуктивностьL. Такого рода несмешанные элементы цепиR,L, а такжеCназываютсяидеальными. Речь, по существу, идет омоделях, которыми заменяются истинные устройства и элементы цепи на электрических схемах.

23

Рис. 2.1

Формально из (2.1) сопротивление Rпредставляет отношение напряжения к возбуждаемому току. К такому пониманию сопротивления (не только в отношенииR) при внешне сходных обстоятельствах неоднократно будем прибегать в дальнейшем.

И линейные и нелинейные сопротивления можно характеризовать посредством вольтамперных характеристик (рис. 2.2), подобных рассмотренным в теме 1 по отношению к источникам. У линейного сопротивления (прямая на рис. 2.2) зависимость u(i) - линейная при всех значенияхi, положительных и отрицательных, а у нелинейного она может иметь любой непрямолинейный вид. В усилительных и других устройствах приходится иметь дело, как отмечалось в теме 1, не только с абсолютными значениями напряженияuи токаi, но и с их приращениями. На кривой зависимостиuотiвыбирается некотораярабочая точкас координатамиU₀,I₀(рис. 2.2), относительно которой отсчитывают приращениеΔi=i-I₀ и Δu=u- U₀. При небольшихΔiиΔuи приближенно линейном рабочем участке кривойu(i)можно считать отношение

24

в некоторых пределах величиной постоянной, не зависящей отuиi. Определенное таким путем сопротивлениеназывается динамическим или дифференциальным.

СопротивлениеRнаделяется в теории (близко к практике) тем свойством, что, как бы причудливо ни менялось напряжение на нем в функции времени (рис. 2.3,а), ток изменяется аналогично, следуя за напряжением. Кривые напряжения и тока подобны, знаки уu(t)иi(t) одинаковы. Вследствие этого, мгновеннаяp(t) и средняяPмощности неизменно положительны.

Сопротивление необратимо потребляет электрическую энергию извне, преобразуя ее в другие виды энергии: тепловую, химическую, механическую, излучения и пр.

Электрическая мощность Pпри постоянном токе определяется в соответствии с законом Джоуля-Ленца равенствами:

(2.2)

Отсюда эквивалентное в энергетическом отношении сопротивление Rпри известной потребляемой объектом мощностиPнаходится по формулам

(2.3)

25

где U- напряжение иI- ток, потребляемый объектом.

Сопротивление Rможет быть полной моделью отдельного физического устройства (резистора, электрической лампы) или составной частью модели более сложных устройств (например, катушки индуктивности), учитывающей потребление, потери энергии. Величина сопротивления может зависеть от частоты сигнала (за счет поверхностного эффекта), температуры окружающей среды и других факторов, если их влияние необходимо учесть в модели.

В связи с необратимым потреблением энергии сопротивление R называютактивным. Иначе обстоит дело в случаереактивныхэлементов цепейLиC.

Между зарядом емкостиqи напряжением на нейu_Cимеет место известное соотношение

(2.4)

Токчерез емкость определяется скоростью притока или убывания заряда в ней и выражается равенством

(2.5)

Поскольку i_Cзависит не от абсолютного значенияu_C, а от производной напряжения на емкости по времени, при одном и том жеu_Cток может быть и положительным, и отрицательным. На рис. 2.3,в показана зависимость токаi_Cот времени для того же напряженияu(t) (рис. 2.3,а), что и в случае сопротивленияR. Обращает на себя внимание несхожесть кривойi_C(t) сu(t), а так же сi_R(t). Напряжениена емкости определяется равенством:

(2.6)

26

где u_C(t₁)- начальное напряжение на конденсаторе к моменту начала наблюдения зарядного процессаt₁, интеграл представляет дополнение к начальному заряду конденсатора за счет тока в интервале отt₁до рассматриваемого момента времениt₂. При нулевом начальном заряде (напряжении)

. (2.7)

Заключенная в емкости зависящая от t энергия выражается равенством

(2.8)

В зависимости от функции u_C(t)энергия может нарастать или убывать с течением времени.

Третий элемент - индуктивностьL- дуален по отношению к емкостиC. Это означает, что выражение для напряжения на индуктивности может быть получено из формулы для тока через емкость (2.5) путем заменыCнаLиuнаi:

(2.9)

Формула (2.9) представляет собой закон электромагнитной индукции Фарадея - Максвелла. Ток через индуктивность как функция от tопределяется дуальной по отношению к (2.6) формулой

(2.10)

27

При нулевом к моменту t₁токеi_L(t₁)

(2.11)

Энергия, заключенная в индуктивности (в ее электромагнитном поле) в зависимости от tопределяется равенством

(2.12)

Реактивные элементы моделируют процессы накопления энергии электрического поля в емкости Cили магнитного поля в индуктивностиL. Они либо забирают энергию из внешней цепи, сохраняя и не преобразуя ее в другие виды энергии, либо возвращают в цепь ранее накопленную энергию. В первом случае мгновенная мощность

(2.13)

положительна, а во втором - отрицательна. Для емкости и индуктивности соответственно можно записать

(2.14)

а для индуктивности

(2.15)

28

Например, если напряжение емкости положительно и возрастает, то p_C(t)>0и происходит заряд емкости, то есть она запасает энергию, поступающую за счет тока внешней цепи (источника).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

При ответах на вопросы данной темы и решении задач потребуется осуществлять дифференцирование и интегрирование простейших функций времени, заданных в графическом виде. Достаточные для этого справочные данные приведены ниже в табл. 2.1.

Таблица 2.1.

Рис. 2.6

29

1. Какими свойствами наделяется сопротивление Rв теории? Какие физические явления, процессы скрываются за активным сопротивлением, наносимым на схеме в условленной форме (в виде удлиненного прямоугольника (рис. 2.5))? Всегда ли сопротивлениеRотделимо физически от других элементов цепи?

2. По какой формуле можно найти сопротивление Rдля эквивалентной замены электродвигателя (рис. 2.5) при напряженииU, развивающем электрическую мощность в ваттах, равнуюP?

Чему равно сопротивление R_AантенныAрадиопередатчика (рис. 2.6) при излучаемой в пространство мощности электромагнитных колебанийP_A=100 Вт и действующем значении тока на ее входеI=1А?

Рис.2.4 Рис. 2.5

3. Какое значение следует принять в расчетах в случае вольтамперной характеристики, приведенной на рис. 2.6, при рабочей точке с координатамиU₀,I₀? Оцените приближенно, чему оно равно численно?

4. Чем принципиально отличается сопротивление Rот реактивных элементов цепейLиC? Почему со-

30

противлениеRназывается активным? Каким соотношением связаны напряжениеu_R(t)и ток через сопротивлениеi_R(t)? Зависит ли это соотношение от закона изменения напряжения или тока в функции времени при линейном сопротивленииR? Может ли ток через сопротивление быть отрицательным при положительном напряжении или наоборот, при однонаправленных ориентирных стрелках?

5. Какими соотношениями определяются зависимости тока от напряжения и напряжения от тока в случае индуктивности L, емкостиC? Может ли ток через индуктивность или емкость быть отрицательным, когда напряжение положительно и наоборот? При каких условиях это имеет место?

6. При трапецеидальной форме изменения напряжения u(t)(рис.2.7, вверху) какая из функций времениi(t)(1,2 или 3) соответствует току через сопротивлениеR?

7. Какая из функций времени i(t)на рис. 2.7 соответствует току через индуктивностьL, через емкостьC?

8. Истолкуйте зависимость напряжения на индуктивности u_L(t) и мгновенной мощностиp_L(t), изображенных на рис. 2.8 (б и в) при законе изменения тока во времени, приведенном на рис. 2.8,а.

Рис. 2.7 Рис. 2.8

31

Почему мгновенная мощность в одних интервалах времени положительна, в других отрицательна? Как это связано с энергетическими процессами в индуктивности (накоплением или отдачей энергии в ее магнитном поле)?

9. Импульс напряжения на емкости в интервале от t₁доt₂ имеет вид двух (нарастающей и спадающей) ветвей параболы (рис.2.9). Какого вида напряжение в том же интервале времени покажет осциллограф, подключенный к сопротивлениюR, присоединенному последовательно к емкости?

ЗАДАЧИ

2.1.(3 балла). Через последовательно соединенные сопротивлениеR, индуктивностьLи емкостьCпротекает одинаковый, линейно нарастающий ток (рис. 2.10), определяемый уравнениями:

Рис. 2.10

32

Значения k,T,C,RиLпримите равными:

k=100/G А/с,T=G/3 мс,

кОм,

нФ,

Гн,

аргумент синуса - в радианах.

Напишите, используя индивидуальные данные, уравнения для напряжений u_R(t), u_L(t), u_C(t).Рассчитайте и изобразите одну под другой в одинаковом масштабе времени исходную функциюi(t)и функцииu_R(t), u_L(t), u_C(t).

Построениям кривых должны предшествовать расчетные таблицы значений функций в выбранных для вычислений точках. Количество расчетных точек должно быть по возможности небольшим, но достаточным для уверенного графического воспроизведения исследуемых функций.

Просмотрите кривые. Обратите внимание на существенно разный характер напряжений на R,LиCпри одинаковом токе.

Определите по кривым или рассчитайте значения напряжений u_R(t), u_L(t), u_C(t) в момент времени

Сложите полученные таким путем три напряжения и внесите их сумму в вольтах (напряжение на трех последовательно соединенных элементах, рис.2.10,б) в АКОС для проверки.

2.2.(2 балла). Ток через катушку индуктивностиLпри подсоединении ее через сопротивлениеR(рис. 2.11,а) к источнику постоянной ЭДСe(t)=E(замыкании ключаk) устанавливается не мгновенно, а возрастает по закону:

33

где . Функция эта применительно к некоторымE,R, иизображена на рис. 2.11,б. Определите:

а) как изменяется напряжение u_R(t)на сопротивленииRв процессе установления тока в интервале отt=0 доt=5 ;

б) по какому закону изменяется напряжение на индуктивности в том же интервале времени?

Представьте результаты в аналитическом и графическом виде в форме построенных в одном масштабе по оси абсцисс функций времени e(t), i(t), u_R(t), u_L(t)при следующих данных:

В,L=(G+1)мГн,R=(5+20N)кОм.

Рис. 2.11

Найдите напряжение на индуктивности u_L(t)=uв момент времениt=7/(N + G).

Внесите величину u в вольтах для проверки в АКОС.

2.3.(2 балла). Ток через емкостьCпо мере ее заряда от источника постоянной ЭДСE(рис. 2.12,а) через сопротивлениеRуменьшается по закону

Зависимость i_C(t)при некоторыхE,R иCизображена

34

на рис. 2.12,б. Установите, по какому закону возрастает напряжение на конденсаторе u_C(t)в процессе его заряда. К чему стремитсяu_C(t) с увеличением времени зарядаt. Изобразите кривуюu_C(t)в интервале времени отt=0 доt=3RC.

Определите энергию , переданную конденсатору источником по истечении времени зарядаtпри

мкФ, В.

Внесите величину W в мДж для проверки в АКОС!

Рис. 2.12

2.4.(2 балла). Токi_L(t)через отклоняющую катушку системы магнитной развертки телевизора изменяется по периодическому закону (рис. 2.13);T – период повторения. Уравнение процесса в рамках одного периода отt=0 доt=Tможет быть записано в виде

где k,k₁- угловые коэффициенты прямых на рис. 2.13, задаваемые равенствами:

35

А/с,

А/с.

Найдите и изобразите графически, как изменяется во времени напряжение u_L(t)на катушке индуктивности при заданной кривой изменения тока (рис.2.13) при значении индуктивности Гн.

Найдите разность между максимальным (положительным) и минимальным (отрицательным) значениями напряжения на катушке в интервале периода.

Рис. 2.13

Внесите величину в вольтах в АКОС для проверки.

2.5.(1 балл). Напряжение на конденсатореu_C(t), включенном (рис. 2.14,а) между зажимамиa,bисточника переменной, так называемойгармонической (синусоидальной) ЭДС, в интервале периода изменяется по закону (рис.2.14,б).

Определите, по какому закону в этом интервале времени изменяется ток i_C(t)через конденсатор при следующих данных:

36

В, нФ,мкс.

Рис. 2.14

Найти значение , мА, в момент времени мкс, внесите его в АКОС.

2.6.(2 балла). При условиях предыдущей задачи найдите выражение для мгновенной мощностиp_C(t), постройте график в том же масштабе, что и кривая рис. 2.14,б.

Истолкуйте кривую с физической точки зрения - в каких интервалах времени происходит накопление энергии в емкости (заряд), в каких - отдача энергии источнику (разряд).

Найдите значение мгновенной мощности в момент времени

мкс.

Внесите величину p, мВт, для проверки в АКОС.

ДЛЯ ПЫТЛИВЫХ

2.1. Какой формы напряжение от источника u(t)=e(t)следует подать на отклоняющие катушки телевизионного ки-

37

нескопа (рис. 2.15) в интервале времени от t₁доt₂для получения линейно нарастающего тока (и напряженности магнитного поля ) в этом интервале?

2.2. Чему равно напряжение u₁на индуктивностиLв интервале времени отt₁доt₂(рис. 2.16), если известно, что напряжение на емкости в этом интервале времени возрастает по линейному закону?

Рис. 2.15. Рис. 2.16.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

R	C	L

ЛИТЕРАТУРА

[1, с. 16 - 28]; [2, с. 27 - 38].

38