Тема 18. Частотные спектры

ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

18.1. Запишите выражения для ряда Фурье и коэффициентов разложения периодического сигнала. Дайте определение спектров амплитуд и фаз.

18.2. Определите спектры амплитуд и фаз периодической последовательности прямоугольных импульсов, постройте их графики.

18.3. Как влияют на спектры амплитуд амплитуда, длительность и период последовательности прямоугольных импульсов?

18.4. Запишите ряд Фурье в комплексной форме и формулы для вычисления коэффициентов разложения. Как определяются комплексные амплитуды гармоник сигнала?

18.5. Определите комплексные амплитуды гармоник периодической последовательности прямоугольных импульсов. Как определяются при этом спектры амплитуд и фаз?

18.6. Сформулируйте теорему запаздывания. Как влияет временная задержка сигнала на его спектры амплитуд и фаз?

18.7. Как сказывается на спектральных свойствах сигнала его симметрия (четность или нечетность), как можно практически использовать эти результаты?

18.8. Что представляет собой ширина спектра сигнала, как она определяется, что характеризует? Как влияют на ширину спектра параметры прямоугольных импульсов? Каковы инженерные оценки ширины спектра импульсных сигналов?

18.9. Как в инженерной практике может использоваться ширина спектра сигнала? Как она должна соотноситься с полосой пропускания тракта обработки сигнала?

130

ЗАДАЧИ

18.1. (1 балл). Дано гармоническое колебание, определяемое выражением u(t)=Ucos(t-). Изобразите это колебание в масштабе посредством двух спектральных линий U() и() на двух графиках спектров амплитуд и фаз соответственно, при следующих данных:

= 2( 15 + 2 N +2G) рад/с,

= 4,2 N рад, U = 8 ( N + 2 G ) В.

Результат в АКОС не вводится, а предъявляется для проверки преподавателю на практическом занятии.

18.2.(1 балл). Определите путем простого тригонометрического преобразования, на какие составляющие (спектр амплитуд) можно расчленить колебание (рис.18.1), выражаемое равенством

u(t)= U cos²(t -)

при данных задачи 18.1. Колебание образуется при возведении гармонической функции в квадрат, что в радиотехнических цепях и автоматике достигается посредством электронных устройств.

Рис. 18.1

Найдите и представьте спектр амплитуд данного колебания в графическом виде путем разложения его на составляющие. Значения частоты₂(радиан делить на секунду) и амплитудыU₂(вольт) второй гармоники колебания рис.18.1 введите в АКОС.

18.3.(3 балла). Найдите, воспользовавшись формулами Фурье, выражения для определения постоянной составляющей и амплитуд гармоник одного из процессов, представленных на рис.18.2, в соответствии с Вашим номером N.

131

Определите численно по найденным Вами выражениям постоянную составляющую и амплитуды восьми первых гармонических составляющих процесса. Представьте спектр амплитуд в графическом виде.

Рис.18.2а

Рис.18.2б

Рис.18.2в

132

Рис.18.2г

Рис.18.2д

Рис.18.2е

Рис.18.2ж

133

Рис.18.2з

Параметры сигнала примите равными:

= 2( 15 + 2N +2G) рад/с, I = ( 8NG + 5 ) А.

Вычислите с проверочной целью сумму амплитуд второй и третьей гармоник (в амперах) S=I₂+I₃и внесите эту величину для проверки в АКОС.

18.4(3 балла). Найдите выражение для спектра амплитуд колебания треугольной (пилообразной) формы на рис.18.3:

для N= 1, 2, 5, 6, 9, 10, 13, 14, 17, 18, 21, 22, 25, 26, 29, 30

Рис.18.3а

для N= 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15, 16, 19, 20, 23, 24, 27, 28, 31,32

Рис.18.3б

134

Представьте спектр амплитуд в графическом виде при следующих данных:

I= ( 2N+ 3G) А,T= (N+ 3 ) мс.

Определите суммарную мощность постоянной составляющей и первых двух гармоник,

P=P₀+P₁+P₂,

в предположении, что ток течет через сопротивление 1 Ом. Значение Р в ваттах введите в АКОС.

18.5.(2 балла). Отберите в соответствии с Вашим номером N одно из двух колебаний прямоугольной формы, представленных на рис.18.4,а,б, при следующих данных: E = 12 В, T = 1 с,= 0,2 T.

При четном N

Рис.18.4а

При нечетном N

Рис.18.4б

135

Положим, что это колебание подается на вход идеального фильтра нижних частот с равномерной амплитудно-частотной характеристикой H() = 1 в полосе пропускания (рис.18.5).

Определите и представьте в графическом виде спектры амплитуд колебаний на входе и на выходе фильтра при его граничной частоте

_гр=2( N + G + 0,5 ) рад/с.

Рис.18.6

Укажите, чему равна амплитуда крайней справа, прошедшей через фильтр гармонической составляющей и внесите ее значение (в милливольтах) для проверки в АКОС.

18.6(2 балла). Напишите выражение для спектральной плотности процесса (рис.18.5) из задачи 18.5. Нанесите кривую спектральной плотности на бумагу в том масштабе по оси частот, который был выбран в предыдущей задаче при изображении спектров.

Найдите спектральную плотность F() в милливольтах умножить на секунду при частоте=( N + G ) рад/с и внесите ее для проверки в АКОС.

136