1_Algebra_logiki

Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций

Доказательство

II Достаточность

ff0; f1; fS; fM ; fLg 2 M, f0 2= T0; f1 2= T1; fS 2= S; fM 2= M; fL 2= L. Докажем, что выделенная подсистема полна.

Константы 0 и 1

Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций

Доказательство

II Достаточность

ff0; f1; fS; fM ; fLg 2 M, f0 2= T0; f1 2= T1; fS 2= S; fM 2= M; fL 2= L. Докажем, что выделенная подсистема полна.

Константы 0 и 1

f0(0; : : : ; 0) = 1, пусть '(x) = f0(x; x; : : : ; x).

Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций

Доказательство

II Достаточность

ff0; f1; fS; fM ; fLg 2 M, f0 2= T0; f1 2= T1; fS 2= S; fM 2= M; fL 2= L. Докажем, что выделенная подсистема полна.

Константы 0 и 1

f0(0; : : : ; 0) = 1, пусть '(x) = f0(x; x; : : : ; x). Возможны следующие ситуации:

à) f0(1; : : : ; 1) = 1

Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций

Доказательство

II Достаточность

ff0; f1; fS; fM ; fLg 2 M, f0 2= T0; f1 2= T1; fS 2= S; fM 2= M; fL 2= L. Докажем, что выделенная подсистема полна.

Константы 0 и 1

f0(0; : : : ; 0) = 1, пусть '(x) = f0(x; x; : : : ; x). Возможны следующие ситуации:

)

à) f0(1; : : : ; 1) = 1 ) '(1) = f0(1; : : : ; 1) = 1 '(0) = f0(0; : : : ; 0) = 1

Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций

Доказательство

II Достаточность

ff0; f1; fS; fM ; fLg 2 M, f0 2= T0; f1 2= T1; fS 2= S; fM 2= M; fL 2= L. Докажем, что выделенная подсистема полна.

Константы 0 и 1

f0(0; : : : ; 0) = 1, пусть '(x) = f0(x; x; : : : ; x).

Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций

Доказательство

II Достаточность

ff0; f1; fS; fM ; fLg 2 M, f0 2= T0; f1 2= T1; fS 2= S; fM 2= M; fL 2= L. Докажем, что выделенная подсистема полна.

Константы 0 и 1

f0(0; : : : ; 0) = 1, пусть '(x) = f0(x; x; : : : ; x).

) 0 = f1(1; : : : ; 1) = f1(f0(x; x; : : : ; x); : : : ; f0(x; x; : : : ; x))

Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций

Доказательство

II Достаточность

ff0; f1; fS; fM ; fLg 2 M, f0 2= T0; f1 2= T1; fS 2= S; fM 2= M; fL 2= L. Докажем, что выделенная подсистема полна.

Константы 0 и 1

f0(0; : : : ; 0) = 1, пусть '(x) = f0(x; x; : : : ; x).

) 0 = f1(1; : : : ; 1) = f1(f0(x; x; : : : ; x); : : : ; f0(x; x; : : : ; x))

á)f0(1; : : : ; 1) = 0

Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций

Доказательство

II Достаточность

ff0; f1; fS; fM ; fLg 2 M, f0 2= T0; f1 2= T1; fS 2= S; fM 2= M; fL 2= L. Докажем, что выделенная подсистема полна.

Константы 0 и 1

f0(0; : : : ; 0) = 1, пусть '(x) = f0(x; x; : : : ; x).

Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций

Доказательство

II Достаточность

ff0; f1; fS; fM ; fLg 2 M, f0 2= T0; f1 2= T1; fS 2= S; fM 2= M; fL 2= L. Докажем, что выделенная подсистема полна.

Константы 0 и 1

f0(0; : : : ; 0) = 1, пусть '(x) = f0(x; x; : : : ; x).

Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций

Доказательство

II Достаточность

ff0; f1; fS; fM ; fLg 2 M, f0 2= T0; f1 2= T1; fS 2= S; fM 2= M; fL 2= L. Докажем, что выделенная подсистема полна.

Константы 0 и 1

f0(0; : : : ; 0) = 1, пусть '(x) = f0(x; x; : : : ; x).

Èç fS по лемме о несамодвойственной функции можно получить некоторую константу (либо 0, либо 1). Имея x, можем получить другую константу.