1_Algebra_logiki
.pdf
Полнота и замкнутость |
Замкнутые классы |
Класс линейных функций
L замкнутый класс
Рассмотрим (x1; : : : ; xn) = f(f1(x11; : : : ; x1p1 ); : : : ; fm(xm 1; : : : ; xm pm )) ãäå f; f1; : : : ; fm 2 L.
(x1; : : : ; xn) =c0 c1f1 : : : cmfm =
=c0 c1 (c01 c11x11 cp11xp11) cm(: : : ):
|
) (x1; : : : ; xn) 2 L.
{z }
= f(x11; : : : ; x1p1 )
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
42 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Замкнутые классы |
Класс линейных функций
L замкнутый класс
Рассмотрим (x1; : : : ; xn) = f(f1(x11; : : : ; x1p1 ); : : : ; fm(xm 1; : : : ; xm pm )) ãäå f; f1; : : : ; fm 2 L.
(x1; : : : ; xn) =c0 c1f1 : : : cmfm =
=c0 c1 (c01 c11x11 cp11xp11) cm(: : : ):
| |
= f(x11 |
;{z: |
: : ; x1p1 ) |
} |
) (x1; : : : ; xn) 2 L. |
|
|
|
|
) класс L замкнут. |
|
|
|
|
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
42 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Замкнутые классы |
Класс линейных функций
L замкнутый класс
Рассмотрим (x1; : : : ; xn) = f(f1(x11; : : : ; x1p1 ); : : : ; fm(xm 1; : : : ; xm pm )) ãäå f; f1; : : : ; fm 2 L.
(x1; : : : ; xn) =c0 c1f1 : : : cmfm =
=c0 c1 (c01 c11x11 cp11xp11) cm(: : : ):
| |
= f(x11 |
;{z: |
: : ; x1p1 ) |
} |
) (x1; : : : ; xn) 2 L. |
|
|
|
|
) класс L замкнут. |
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
Всего линейных функций от n переменных 2n+1.
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
42 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Замкнутые классы |
Класс линейных функций
Лемма о нелинейной функции
Если функция f(x1; : : : ; xn) нелинейная, то из нее путем замены переменных на константы 0; 1, функции x; x, и, быть может, путем инвертирования самой функции можно получить нелинейную функцию, а именно конъюнкцию.
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
43 / 50 |
Полнота и замкнутость Замкнутые классы
Класс линейных функций
Лемма о нелинейной функции
Доказательство
(i1 |
L m |
|
f(x1; : : : ; xn) = |
|
ci1;:::;im xi1 : : : xim = |
|
;:::;i |
) |
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
44 / 50 |
Полнота и замкнутость Замкнутые классы
Класс линейных функций
Лемма о нелинейной функции
Доказательство
(i1 |
L m |
|
f(x1; : : : ; xn) = |
|
ci1;:::;im xi1 : : : xim = |
|
;:::;i |
) |
g1(x1; : : : ; xn)
слагаемые, содержащие x1x2
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
44 / 50 |
Полнота и замкнутость Замкнутые классы
Класс линейных функций
Лемма о нелинейной функции
Доказательство
(i1 |
L m |
|
f(x1; : : : ; xn) = |
|
ci1;:::;im xi1 : : : xim = |
|
;:::;i |
) |
g1(x1; : : : ; xn) g2(x1; : : : ; xn) |
||
слагаемые, |
слагаемые, |
|
содержащие x1x2 |
содержащие x1 |
|
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
44 / 50 |
Полнота и замкнутость Замкнутые классы
Класс линейных функций
Лемма о нелинейной функции
Доказательство
(i1 |
L m |
|
|
f(x1; : : : ; xn) = |
|
ci1;:::;im xi1 : : : xim = |
|
|
;:::;i |
) |
|
g1(x1; : : : ; xn) g2(x1; : : : ; xn) g3(x1; : : : ; xn) |
|||
слагаемые, |
слагаемые, |
слагаемые, |
|
содержащие x1x2 |
содержащие x1 |
содержащие x2 |
|
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
44 / 50 |
Полнота и замкнутость Замкнутые классы
Класс линейных функций
Лемма о нелинейной функции
Доказательство
(i1 |
L m |
|
|
|
f(x1; : : : ; xn) = |
|
ci1;:::;im xi1 : : : xim = |
|
|
|
;:::;i |
) |
|
|
g1(x1; : : : ; xn) g2(x1; : : : ; xn) g3(x1; : : : ; xn) f4(x3; : : : ; xn) |
||||
слагаемые, |
слагаемые, |
слагаемые, |
слагаемые, |
|
содержащие x1x2 |
содержащие x1 |
содержащие x2 |
не содержащие |
|
|
|
|
|
x1 è x2 |
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
44 / 50 |
Полнота и замкнутость Замкнутые классы
Класс линейных функций
Лемма о нелинейной функции
Доказательство
(i1 |
L m |
|
f(x1; : : : ; xn) = |
|
ci1;:::;im xi1 : : : xim = |
|
;:::;i |
) |
g1(x1; : : : ; xn) g2(x1; : : : ; xn) g3(x1; : : : ; xn) f4(x3; : : : ; xn) |
||
= x1x2f1(x3; : : : ; xn) x1f2(x3; : : : ; xn) x2f3(x3; : : : ; xn) f4(x3; : : : ; xn)
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
44 / 50 |