![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
1_Algebra_logiki
.pdf![](/html/2706/275/html_Hw3_Dt0Rvi.yZ8o/htmlconvd-wVXHfm371x1.jpg)
Полнота и замкнутость Замкнутые классы
Класс линейных функций
Лемма о нелинейной функции
Доказательство
(i1 |
L m |
|
f(x1; : : : ; xn) = |
|
ci1;:::;im xi1 : : : xim = |
|
;:::;i |
) |
g1(x1; : : : ; xn) g2(x1; : : : ; xn) g3(x1; : : : ; xn) f4(x3; : : : ; xn) |
= x1x2f1(x3; : : : ; xn) x1f2(x3; : : : ; xn) x2f3(x3; : : : ; xn) f4(x3; : : : ; xn)
Пусть f1( 3; : : : ; n) = 1
'(x1; x2) = f(x1; x2; 3; : : : ; n) = x1x2 x1 x2 , ãäå , , 2 f0; 1g.
(x1; x2) = '(x1 ; x2 )
) (x) получена из f(x1; : : : ; xn) заменой ее аргументов на 0; 1 или на x и x. Если = 1, функция ' заменяется на инверсную.
)(x) соответствует условиям леммы
(x1; x2) = (x1 )(x2 ) (x1 ) (x2 ) = = x1x2 x2 x1 x1 x2
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
44 / 50 |
![](/html/2706/275/html_Hw3_Dt0Rvi.yZ8o/htmlconvd-wVXHfm372x1.jpg)
Полнота и замкнутость Замкнутые классы
Класс линейных функций
Лемма о нелинейной функции
Доказательство
(i1 |
L m |
|
f(x1; : : : ; xn) = |
|
ci1;:::;im xi1 : : : xim = |
|
;:::;i |
) |
g1(x1; : : : ; xn) g2(x1; : : : ; xn) g3(x1; : : : ; xn) f4(x3; : : : ; xn) |
= x1x2f1(x3; : : : ; xn) x1f2(x3; : : : ; xn) x2f3(x3; : : : ; xn) f4(x3; : : : ; xn)
Пусть f1( 3; : : : ; n) = 1
'(x1; x2) = f(x1; x2; 3; : : : ; n) = x1x2 x1 x2 , ãäå , , 2 f0; 1g.
(x1; x2) = '(x1 ; x2 )
) (x) получена из f(x1; : : : ; xn) заменой ее аргументов на 0; 1 или на x и x. Если = 1, функция ' заменяется на инверсную.
)(x) соответствует условиям леммы
(x1; x2) = (x1 )(x2 ) (x1 ) (x2 ) = = x1x2 x2 x1 x1 x2
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
44 / 50 |
![](/html/2706/275/html_Hw3_Dt0Rvi.yZ8o/htmlconvd-wVXHfm373x1.jpg)
Полнота и замкнутость Замкнутые классы
Класс линейных функций
Лемма о нелинейной функции
Доказательство
(i1 |
L m |
|
f(x1; : : : ; xn) = |
|
ci1;:::;im xi1 : : : xim = |
|
;:::;i |
) |
g1(x1; : : : ; xn) g2(x1; : : : ; xn) g3(x1; : : : ; xn) f4(x3; : : : ; xn) |
= x1x2f1(x3; : : : ; xn) x1f2(x3; : : : ; xn) x2f3(x3; : : : ; xn) f4(x3; : : : ; xn)
Пусть f1( 3; : : : ; n) = 1
'(x1; x2) = f(x1; x2; 3; : : : ; n) = x1x2 x1 x2 , ãäå , , 2 f0; 1g.
(x1; x2) = '(x1 ; x2 )
) (x) получена из f(x1; : : : ; xn) заменой ее аргументов на 0; 1 или на x и x. Если = 1, функция ' заменяется на инверсную.
)(x) соответствует условиям леммы
(x1; x2) = (x1 )(x2 ) (x1 ) (x2 ) = = x1x2 x2 x1 x1 x2
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
44 / 50 |
![](/html/2706/275/html_Hw3_Dt0Rvi.yZ8o/htmlconvd-wVXHfm374x1.jpg)
Полнота и замкнутость Замкнутые классы
Класс линейных функций
Лемма о нелинейной функции
Доказательство
(i1 |
L m |
|
f(x1; : : : ; xn) = |
|
ci1;:::;im xi1 : : : xim = |
|
;:::;i |
) |
g1(x1; : : : ; xn) g2(x1; : : : ; xn) g3(x1; : : : ; xn) f4(x3; : : : ; xn) |
= x1x2f1(x3; : : : ; xn) x1f2(x3; : : : ; xn) x2f3(x3; : : : ; xn) f4(x3; : : : ; xn)
Пусть f1( 3; : : : ; n) = 1
'(x1; x2) = f(x1; x2; 3; : : : ; n) = x1x2 x1 x2 , ãäå , , 2 f0; 1g.
(x1; x2) = '(x1 ; x2 )
) (x) получена из f(x1; : : : ; xn) заменой ее аргументов на 0; 1 или на x и x. Если = 1, функция ' заменяется на инверсную.
)(x) соответствует условиям леммы
(x1; x2) = (x1 )(x2 ) (x1 ) (x2 ) = = x1x2 x2 x1 x1 x2
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
44 / 50 |
![](/html/2706/275/html_Hw3_Dt0Rvi.yZ8o/htmlconvd-wVXHfm375x1.jpg)
Полнота и замкнутость Замкнутые классы
Класс линейных функций
Лемма о нелинейной функции
Доказательство
(i1 |
L m |
|
f(x1; : : : ; xn) = |
|
ci1;:::;im xi1 : : : xim = |
|
;:::;i |
) |
g1(x1; : : : ; xn) g2(x1; : : : ; xn) g3(x1; : : : ; xn) f4(x3; : : : ; xn) |
= x1x2f1(x3; : : : ; xn) x1f2(x3; : : : ; xn) x2f3(x3; : : : ; xn) f4(x3; : : : ; xn)
Пусть f1( 3; : : : ; n) = 1
'(x1; x2) = f(x1; x2; 3; : : : ; n) = x1x2 x1 x2 , ãäå , , 2 f0; 1g.
(x1; x2) = '(x1 ; x2 )
) (x) получена из f(x1; : : : ; xn) заменой ее аргументов на 0; 1 или на x и x. Если = 1, функция ' заменяется на инверсную.
)(x) соответствует условиям леммы
(x1; x2) = (x1 )(x2 ) (x1 ) (x2 ) = = x1x2 x2 x1 x1 x2
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
44 / 50 |
![](/html/2706/275/html_Hw3_Dt0Rvi.yZ8o/htmlconvd-wVXHfm376x1.jpg)
Полнота и замкнутость Замкнутые классы
Класс линейных функций
Лемма о нелинейной функции
Доказательство
(i1 |
L m |
|
f(x1; : : : ; xn) = |
|
ci1;:::;im xi1 : : : xim = |
|
;:::;i |
) |
g1(x1; : : : ; xn) g2(x1; : : : ; xn) g3(x1; : : : ; xn) f4(x3; : : : ; xn) |
= x1x2f1(x3; : : : ; xn) x1f2(x3; : : : ; xn) x2f3(x3; : : : ; xn) f4(x3; : : : ; xn)
Пусть f1( 3; : : : ; n) = 1
'(x1; x2) = f(x1; x2; 3; : : : ; n) = x1x2 x1 x2 , ãäå , , 2 f0; 1g.
(x1; x2) = '(x1 ; x2 )
) (x) получена из f(x1; : : : ; xn) заменой ее аргументов на 0; 1 или на x и x. Если = 1, функция ' заменяется на инверсную.
)(x) соответствует условиям леммы
(x1; x2) = (x1 )(x2 ) (x1 ) (x2 ) = = x1x2 x2 x1 x1 x2
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
44 / 50 |
![](/html/2706/275/html_Hw3_Dt0Rvi.yZ8o/htmlconvd-wVXHfm377x1.jpg)
Полнота и замкнутость Замкнутые классы
Класс линейных функций
Лемма о нелинейной функции
Доказательство
(i1 |
L m |
|
f(x1; : : : ; xn) = |
|
ci1;:::;im xi1 : : : xim = |
|
;:::;i |
) |
g1(x1; : : : ; xn) g2(x1; : : : ; xn) g3(x1; : : : ; xn) f4(x3; : : : ; xn) |
= x1x2f1(x3; : : : ; xn) x1f2(x3; : : : ; xn) x2f3(x3; : : : ; xn) f4(x3; : : : ; xn)
Пусть f1( 3; : : : ; n) = 1
'(x1; x2) = f(x1; x2; 3; : : : ; n) = x1x2 x1 x2 , ãäå , , 2 f0; 1g.
(x1; x2) = '(x1 ; x2 )
) (x) получена из f(x1; : : : ; xn) заменой ее аргументов на 0; 1 или на x и x. Если = 1, функция ' заменяется на инверсную.
)(x) соответствует условиям леммы
(x1; x2) = (x1 )(x2 ) (x1 ) (x2 ) =
= x1x2 x2 x1 x1 x2 = x1x2.
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
44 / 50 |
![](/html/2706/275/html_Hw3_Dt0Rvi.yZ8o/htmlconvd-wVXHfm378x1.jpg)
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций
Теорема (Поста о полноте)
Система M = ff1; : : : ; fr; : : : g полна, если и только если она не содержится целиком ни в одном из пяти замкнутых классов T0, T1; S; M; L.
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
45 / 50 |
![](/html/2706/275/html_Hw3_Dt0Rvi.yZ8o/htmlconvd-wVXHfm379x1.jpg)
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций
Теорема (Поста о полноте)
Система M = ff1; : : : ; fr; : : : g полна, если и только если она не содержится целиком ни в одном из пяти замкнутых классов T0, T1; S; M; L.
Доказательство
I Необходимость
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
45 / 50 |
![](/html/2706/275/html_Hw3_Dt0Rvi.yZ8o/htmlconvd-wVXHfm380x1.jpg)
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций
Теорема (Поста о полноте)
Система M = ff1; : : : ; fr; : : : g полна, если и только если она не содержится целиком ни в одном из пяти замкнутых классов T0, T1; S; M; L.
Доказательство
I Необходимость
Пусть система M полна, то есть [M] = P2.
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
45 / 50 |