Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема поста о полноте. Пример
|
T0 |
T1 |
L |
S |
M |
x + |
+ |
|
x y |
+ |
|
+ |
|
|
x y z |
+ |
|
|
|
|
x ! y |
|
|
|
|
|
x y |
f = x ! y |
f |
0 0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 0 |
0 |
1 |
|
|
|
1 1 |
1 |
1 |
|
|
|
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
48 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема поста о полноте. Пример
|
T0 |
T1 |
L |
S |
M |
x |
|
|
+ |
+ |
|
x y |
+ |
|
+ |
|
|
x y z |
+ |
|
|
|
|
x ! y |
+ |
|
x y |
f = x ! y |
f |
0 0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 0 |
0 |
1 |
|
|
|
1 1 |
1 |
1 |
|
|
|
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
48 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема поста о полноте. Пример
|
T0 |
T1 |
L |
S |
M |
x |
|
|
+ |
+ |
|
x y |
+ |
|
+ |
|
|
x y z |
+ |
|
|
|
|
x ! y |
+ |
|
Так как система не принадлежит ни одному из пяти замкнутых классов, то она является полной
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
48 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема поста о полноте. Пример
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
49 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема поста о полноте. Пример
Теорема
Из полной системы булевых функций M можно выделить полную подсистему, содержащую не более четырех функций.
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
49 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема поста о полноте. Пример
Теорема
Из полной системы булевых функций M можно выделить полную подсистему, содержащую не более четырех функций.
Доказательство
fS |
= S; |
fM |
= M |
9M = f0; f1; fS; fM ; fL |
|
полна. |
f0 |
2= T0 |
; f1 |
2= T1 |
> |
f |
g |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
f |
L |
= L |
|
|
= |
|
|
|
|
2 |
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
49 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема поста о полноте. Пример
Теорема
Из полной системы булевых функций M можно выделить полную подсистему, содержащую не более четырех функций.
Доказательство |
9M = f0; f1; fS; fM ; fL |
|
fS |
= S; |
|
fM |
= M |
полна. |
f0 |
2= T0 |
; f1 |
2= T1 |
> |
f |
g |
|
2 |
|
|
|
2 |
f |
= L |
|
|
|
= |
|
|
f L=2T |
0 ) |
f (0; : : : ;>0) = 1 |
|
|
0 2 |
0 |
|
; |
|
|
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
49 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема поста о полноте. Пример
Теорема
Из полной системы булевых функций M можно выделить полную подсистему, содержащую не более четырех функций.
Доказательство |
9M = f0; f1; fS; fM ; fL |
|
fS |
= S; |
|
fM |
= M |
полна. |
f0 |
2= T0 |
; f1 |
2= T1 |
> |
f |
g |
|
2 |
|
|
|
2 |
f |
= L |
|
|
|
= |
|
|
f L=2T |
0 ) |
f (0; : : : ;>0) = 1 |
|
|
0 2 |
0 |
|
; |
|
|
f0(1; : : : ; 1) = 1
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
49 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема поста о полноте. Пример
Теорема
Из полной системы булевых функций M можно выделить полную подсистему, содержащую не более четырех функций.
Доказательство |
9M = f0; f1; fS; fM ; fL |
|
fS |
= S; |
|
fM |
= M |
полна. |
f0 |
2= T0 |
; f1 |
2= T1 |
> |
f |
g |
|
2 |
|
|
|
2 |
f |
= L |
|
|
|
= |
|
|
f L=2T |
0 ) |
f (0; : : : ;>0) = 1 |
|
|
0 2 |
0 |
|
; |
|
|
f0(1; : : : ; 1) = 1 ) f0 2= S
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
49 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема поста о полноте. Пример
Теорема
Из полной системы булевых функций M можно выделить полную подсистему, содержащую не более четырех функций.
Доказательство |
9M = f0; f1; fS; fM ; fL полна. |
fS |
= S; |
fM |
= M |
f0 |
2= T0; f1 |
2= T1 |
> |
f |
g |
|
2 |
|
|
2 |
f |
= L |
|
|
= |
|
|
f L=2T |
0 ) |
f (0; : : : ;>0) = 1 |
|
|
0 2 |
0 |
|
; |
|
) число функций системы можно сократить до |
f0(1; : : : ; 1) = 1 ) f0 2= S |
четырех: f0 = fS |
|
|
|
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
49 / 50 |
