1_Algebra_logiki
.pdf
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций
Теорема (Поста о полноте)
Система M = ff1; : : : ; fr; : : : g полна, если и только если она не содержится целиком ни в одном из пяти замкнутых классов T0, T1; S; M; L.
Доказательство
I Необходимость
Пусть система M полна, то есть [M] = P2.
N один из пяти замкнутых классов ( T0; T1; S; M; L), M N
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
45 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций
Теорема (Поста о полноте)
Система M = ff1; : : : ; fr; : : : g полна, если и только если она не содержится целиком ни в одном из пяти замкнутых классов T0, T1; S; M; L.
Доказательство
I Необходимость
Пусть система M полна, то есть [M] = P2.
N один из пяти замкнутых классов ( T0; T1; S; M; L), M N
)
Система M полна |
) [M] = P2 |
Класс N замкнут, |
) [N] = N |
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
45 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций
Теорема (Поста о полноте)
Система M = ff1; : : : ; fr; : : : g полна, если и только если она не содержится целиком ни в одном из пяти замкнутых классов T0, T1; S; M; L.
Доказательство
I Необходимость
Пусть система M полна, то есть [M] = P2.
N один из пяти замкнутых классов ( T0; T1; S; M; L), M N
Класс N замкнут, |
) [N] = N2) ) M N |
Система M полна |
[M] = P |
|
) |
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
45 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций
Теорема (Поста о полноте)
Система M = ff1; : : : ; fr; : : : g полна, если и только если она не содержится целиком ни в одном из пяти замкнутых классов T0, T1; S; M; L.
Доказательство
I Необходимость
Пусть система M полна, то есть [M] = P2.
N один из пяти замкнутых классов ( T0; T1; S; M; L), M N
Класс N замкнут, |
) [N] = N2) ) M N ) [M] [N] |
Система M полна |
[M] = P |
|
) |
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
45 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций
Теорема (Поста о полноте)
Система M = ff1; : : : ; fr; : : : g полна, если и только если она не содержится целиком ни в одном из пяти замкнутых классов T0, T1; S; M; L.
Доказательство
I Необходимость
Пусть система M полна, то есть [M] = P2.
N один из пяти замкнутых классов ( T0; T1; S; M; L), M N
Класс N замкнут, |
) [N] = N2) ) M N ) [M] [N] ) P2 N |
Система M полна |
[M] = P |
|
) |
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
45 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций
Теорема (Поста о полноте)
Система M = ff1; : : : ; fr; : : : g полна, если и только если она не содержится целиком ни в одном из пяти замкнутых классов T0, T1; S; M; L.
Доказательство
I Необходимость
Пусть система M полна, то есть [M] = P2.
N один из пяти замкнутых классов ( T0; T1; S; M; L), M N
Класс N замкнут, |
) [N] = N2) ) M N ) [M] [N] ) P2 N, ò.å. |
Система M полна |
[M] = P |
|
) |
множество всех булевых функций содержится в одном из замкнутых классов, что не так (для каждого из замкнутых классов 9 элементарная функция, не
содержащаяся в нем).
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
45 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций
Теорема (Поста о полноте)
Система M = ff1; : : : ; fr; : : : g полна, если и только если она не содержится целиком ни в одном из пяти замкнутых классов T0, T1; S; M; L.
Доказательство
I Необходимость
Пусть система M полна, то есть [M] = P2.
N один из пяти замкнутых классов ( T0; T1; S; M; L), M N
Класс N замкнут, |
) [N] = N2) ) M N ) [M] [N] ) P2 N, ò.å. |
Система M полна |
[M] = P |
|
) |
множество всех булевых функций содержится в одном из замкнутых классов, что не так (для каждого из замкнутых классов 9 элементарная функция, не
содержащаяся в нем).
Необходимость доказана.
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
45 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
46 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций
Доказательство
II Достаточность
ff0; f1; fS; fM ; fLg 2 M, f0 2= T0; f1 2= T1; fS 2= S; fM 2= M; fL 2= L.
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
46 / 50 |
Полнота и замкнутость |
Теорема Поста о полноте систем булевых функций |
Теорема II о необходимом и достаточном условии полноты систем булевых функций
Доказательство
II Достаточность
ff0; f1; fS; fM ; fLg 2 M, f0 2= T0; f1 2= T1; fS 2= S; fM 2= M; fL 2= L. Докажем, что выделенная подсистема полна.
Николаева Екатерина Александровна (ТГУ) |
Алгебра логики |
46 / 50 |